Khi đó giá trị của biểu thức 27 m − n là:

82/120

Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu từ 81 đến 82

Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 3\) và \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\).

Biết \[\int\limits_0^2 {{e^{3x}}f\left( x \right)dx} = m + \frac{{n{e^6}}}{{27}}\]. Khi đó giá trị của biểu thức \(27m - n\) là:

\( - 1\).

\(1\).

\( - 2\).

\(2\).

Giải thích

Đặt \(G\left( x \right) = \left( {a{x^2} + bx + c} \right){e^{3x}}\) là một nguyên hàm của hàm số \({e^{3x}}f\left( x \right)\).

Khi đó \(G'\left( x \right) = {e^{3x}}f\left( x \right) \Rightarrow 3 \cdot {e^{3x}}\left( {a{x^2} + bx + c} \right) + {e^{3x}} \cdot \left( {2ax + b} \right) = {e^{3x}}f\left( x \right)\)

\( \Rightarrow 3\left( {a{x^2} + bx + c} \right) + 2ax + b = f\left( x \right)\)\( \Rightarrow 3a{x^2} + \left( {3b + 2a} \right)x + 3c + b = 2{x^2} - 3\).

Đồng nhất hệ số hai vế, ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}3a = 2\\2a + 3b = 0\\b + 3c = - 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{2}{3}\\b = - \frac{4}{9}\\c = - \frac{{23}}{{27}}\end{array} \right.\).

Vậy \[\int\limits_0^2 {{e^{3x}}f\left( x \right)dx} = \left. {{e^{3x}}\left( {\frac{2}{3}{x^2} - \frac{4}{9}x - \frac{{23}}{{27}}} \right)} \right|_0^2 = {e^6} \cdot \frac{{25}}{{27}} + \frac{{23}}{{27}}\].

Kết luận: \(m = \frac{{23}}{{27}};\,n = 25\) và \(27m - n = - 2\). Chọn C.