Khi đó, giá trị của a là:

Vì đồ thị hàm số \(y = a{t^2} + bt\) đi qua các điểm \(A\left( {5;6} \right)\) và \(B\left( {25;10} \right)\).

Ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{25a + 5b = 6\,\,\,\,\,\,\,}\\{625a + 25b = 10}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - \frac{1}{{25}}}\\{b = \frac{7}{5}}\end{array}} \right.\).

Suy ra hàm số vận tốc của vận động viên \(B\) là \({v_B} = - \frac{1}{{25}}{t^2} + \frac{7}{5}t\). Vậy \(a = - \frac{1}{{25}}\). Chọn D.