Khi đó, giá trị của − 5 b^2 − c^2 + 3 d^2 bằng bao nhiêu?
33/34
Trong giờ thể dục học về kỹ thuật chuyền bóng hơi, Bình và An tập chuyền bóng cho nhau. Ở một động tác Bình chuyền bóng cho An, quả bóng bay lên cao nhưng lại lệch sang bên trái của An và rơi xuống vị trí cách chỗ An đứng \[0,5\,{\rm{m}}\] và cách chỗ Bình \[4,5\,{\rm{m}}\]. Chọn hệ trục tọa độ \[Oxyz\] sao cho gốc tọa độ \[O\] tại vị trí của Bình, vị trí của An nằm trên tia \[Ox\] và mặt phẳng \[Oxy\] là mặt đất (tham khảo hình vẽ).
Biết rằng quỹ đạo của quả bóng nằm trong mặt phẳng \[\left( \alpha \right):x + by + cz + d = 0\] và \[\left( \alpha \right)\] vuông góc với mặt đất. Khi đó, giá trị của \[ - 5{b^2} - {c^2} + 3{d^2}\] bằng bao nhiêu?
Đáp án: \( - 400\).
Quả bóng rơi xuống tại điểm \[A\left( {\sqrt {20} ;0,5;0} \right)\].
Mặt phẳng \[\left( \alpha \right):x + by + cz + d = 0\] đi qua \[O\] nên \[d = 0\], điểm \[A\left( {\sqrt {20} ;0,5;0} \right)\] thuộc \[\left( \alpha \right)\] nên có \[\sqrt {20} + 0,5b = 0 \Leftrightarrow b = - 4\sqrt 5 \].
Mặt khác \[\left( \alpha \right)\] vuông góc với mặt đất nên \[{\overrightarrow n _{\left( \alpha \right)}} \bot {\overrightarrow n _{\left( {Oxy} \right)}} \Leftrightarrow {\overrightarrow n _{\left( \alpha \right)}} \cdot \overrightarrow k = 0 \Leftrightarrow c = 0\].
Vậy mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] có phương trình là \[\left( \alpha \right):x - 4\sqrt 5 y = 0\].
Khi đó, \[ - 5{b^2} - {c^2} + 3{d^2} = - 400\].