Khi đó độ dài đường tròn có đường kính A H bằng

6/30

Cho\[\Delta ABC\]vuông tại $A$ có 3 đỉnh thuộc $\left( O \right),$ đường cao$AH,$ biết$AB = 6{\rm{\;cm,}}\,\,AC = 8{\rm{\;cm}}.$ Khi đó độ dài đường tròn có đường kính $AH$ bằng

$5,4\pi {\rm{\;(cm)}}.$

$4,6\pi {\rm{\;(cm)}}.$

$3,2\pi {\rm{\;(cm)}}.$

$4,8\pi {\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Giải thích

$Khi đó độ dài đường tròn có đường kính $AH$ bằng (ảnh 1)$

Đáp án đúng là: D

Do \[\Delta ABC\] vuông tại $A$ nên đường tròn $\left( O \right)$ là đường kính là $BC.$

Ta có: \[\frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{{A{C^2} + A{B^2}}}{{A{C^2} \cdot A{B^2}}} = \frac{{B{C^2}}}{{A{C^2} \cdot A{B^2}}} = \frac{{B{C^2}}}{{{{\left( {AC \cdot AB} \right)}^2}}}.\]

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta HBA$ có: $\widehat {BAC} = \widehat {BHA} = 90^\circ $ và $\widehat {ABC}$ là góc chung

Do đó (g.g). Suy ra $\frac{{AC}}{{HA}} = \frac{{BC}}{{BA}}$ hay $AC \cdot AB = AH \cdot BC.$

Khi đó, \[\frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{{B{C^2}}}{{{{\left( {AC \cdot AB} \right)}^2}}} = \frac{{B{C^2}}}{{{{\left( {AH \cdot BC} \right)}^2}}} = \frac{{B{C^2}}}{{A{H^2} \cdot B{C^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}}.\]

Nên \[\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{{6^2}}} + \frac{1}{{{8^2}}} = \frac{{25}}{{576}},\] suy ra $A{H^2} = \frac{{576}}{{25}}$ do đó $AH = \frac{{24}}{5} = 4,8{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Vậy độ dài đường tròn có đường kính $AH$ bằng $2\pi \cdot \frac{{4,8}}{2} = 4,8\pi {\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$