Khi đó chọn kích thước cạnh \(ABCD\) như thế nào để diện tích của bốn phần đất trồng hoa nhỏ nhất? 

Hướng dẫn giải

Gọi \(x,\,\,y{\rm{\;(m)}}\) lần lượt là chiều dài và chiều rộng của khu vườn hình chữ nhật \(ABCD\)\(\left( {x,\,\,y > 0} \right).\)

Vì độ dài đường kính của đường tròn là đường chéo của hình chữ nhật \(ABCD\) nên biểu thức xác định đường kính của đường tròn là \(\sqrt {{x^2} + {y^2}} {\rm{\;(m)}}\) (áp dụng định lí Pythagore).

Suy ra bán kính của đường tròn là \(\frac{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}{2}{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Diện tích đường tròn là \(S = \pi \cdot \frac{{{x^2} + {y^2}}}{4}{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Diện tích của hình chữ nhật là \({S_{hcn}} = xy = 640{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Diện tích phần đất trồng hoa là \(S' = S - {S_{hcn}} = \pi \cdot \frac{{{x^2} + {y^2}}}{4} - xy{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Với mọi \(x,\,\,y\) ta luôn có:

\({\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\)

\({x^2} - 2xy + {y^2} \ge 0\)

\({x^2} + {y^2} \ge 2xy\)

\(\frac{{{x^2} + {y^2}}}{4} \ge \frac{{xy}}{2} > 0\)

\(\frac{{\pi \left( {{x^2} + {y^2}} \right)}}{4} \ge \frac{{\pi xy}}{2}\)

\(\frac{{\pi \left( {{x^2} + {y^2}} \right)}}{4} - xy \ge \frac{{\pi xy}}{2} - xy\)

Do đó \(S' \ge \frac{{\pi xy}}{2} - xy = 320\pi - 640{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \({\left( {x - y} \right)^2} = 0\) hay \(x = y.\)

Như vậy, để diện tích của bốn phần đất trồng hoa nhỏ nhất thì \(x = y.\)

Khi đó, ta có \(x = y\) và \(xy = 640\) nên \(x = y = \sqrt {640} = 8\sqrt {10} {\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Vậy mảnh vườn \(ABCD\) có hai kích thước bằng nhau và bằng \(8\sqrt {10} {\rm{\;m}}\) thì diện tích của bốn phần đất trồng hoa nhỏ nhất.