$3) Chứng minh rằng \(AM \cdot BN = 2{R^2}\) và tìm vị trí điểm \(M\) trên cung nhỏ để diện tích tam giác \(BNC\) đạt giá trị lớn nhất. (ảnh 1)$

⦁Ta có \(BP \bot DN\) nên \(\widehat {BPN} = 90^\circ .\)

Ta có \(DN \bot CD\)và \(AB \bot CD\) nên \(BA\,{\rm{//}}\,DN,\) suy ra \(\widehat {ABM} = \widehat {DNB}\)(đồng vị).

Xét \(\Delta AMB\) và \(\Delta BPN\) có:

\(\widehat {AMB} = \widehat {BPN} = 90^\circ \) và \(\widehat {ABM} = \widehat {BND}\)

Do đó (g.g).

Suy ra \(\frac{{AM}}{{BP}} = \frac{{AB}}{{BN}}\) nên \(AM \cdot BN = AB \cdot BP.\,\left( 3 \right)\)

Xét tứ giác \(OBPD\)có \(\widehat {DOB} = \widehat {BPD} = \widehat {ODP} = 90^\circ \)và \(OD = OB = R\)

Suy ra \(OBPD\) là hình vuông nên \(OD = OB = BP = R\) (4)

Từ (3) và (4) ta có\(AM \cdot BN = AB \cdot BP = 2R \cdot R = 2{R^2}.\)

⦁ Kẻ \(EF \bot BC,\,\,NK \bot BC\)

Ta có \({S_{BNC}} = \frac{1}{2}NK \cdot BC.\) Do \(BC\) không đổi nên \({S_{BNC}}\) đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \(NK\) lớn nhất.

Do \(EF \bot BC,\,\,NK \bot BC\)nên \(EF\,{\rm{//}}\,NK.\)

Khi đó, tứ giác \(EFKN\) là hình bình hành, lại có \(\widehat {EFK} = 90^\circ \) nên hình bình hành \(EFKN\) là hình chữ nhật. Do đó \(EF = NK.\)

Ta có \(NK\) lớn nhất khi \(EF\) lớn nhất, điều này xảy rakhi điểm \(E\) trùng với điểm \(O,\)khi điểm \(M\) trùng điểm \(B.\)

Khi đó 2 b + c bằng