Khi dạo chơi trong một công viên bạn An di chuyển trên cầu cong có hình parabol

Đáp án: \(20,6\)

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) như hình vẽ

Tọa độ của các điểm \(A\left( { - 15;0} \right)\), \(B\left( {15;0} \right)\), \(E\left( {30;0} \right)\), \(H\left( {0;30} \right)\) và \(I\left( {30;30} \right)\).

Vì parabol đi qua điểm \(B\left( {15;0} \right)\) và \(H\left( {0;30} \right)\) đồng thời có đỉnh là điểm \(H\left( {0;30} \right)\) nên phương trình của parabol là: \(y = - \frac{6}{{45}}{x^2} + 30\).

Phương trình đường tròn tâm \(I\left( {30;30} \right)\) là: \({\left( {x - 30} \right)^2} + {\left( {y - 30} \right)^2} = 9\).

Gọi \(A\left( {a; - \frac{6}{{45}}{a^2} + 30} \right)\) là một điểm nằm trên parabol.

Khoảng giữa An và Lan ngắn nhất khi tiếp tuyến tại \(A\) của parabol và đường thẳng \(IA\) vuông góc với nhau.

\(\overrightarrow {IA} \left( {a - 30;\, - \frac{6}{{45}}{a^2}} \right) \Rightarrow {k_{IA}} = \frac{{ - \frac{6}{{45}}{a^2}}}{{a - 30}}\).

\(f'\left( A \right) \cdot {k_{IA}} = - 1 \Leftrightarrow \frac{{ - 12a}}{{45}} \cdot \frac{{ - \frac{6}{{45}}{a^2}}}{{a - 30}} = - 1\)

\( \Leftrightarrow \frac{8}{{225}}{a^3} = 30 - a \Leftrightarrow 8{a^3} + 225a - 6750 = 0 \Leftrightarrow a \approx 8,4613\).

Suy ra khoảng cách ngắn nhất giữa An và Lan là

                                                   \[{d_{\min }} = IA - r \approx 20,56\].