khi a, b, c thay đổi thì quỹ tích tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

49/50

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xét các điểm Aa;0;0,B0;b;0,C0;0;c với a, b, c khác 0 và a+2b+2c=6. Biết rằng khi a, b, c thay đổi thì quỹ tích tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC thuộc mặt phẳng (P) cố định. Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (P)

d=1

d=3

d=2

d=3

Giải thích

Đáp án A.

1. Tìm tọa độ tâm I ngoại tiếp tứ diện OABC

Gọi M là trung điểm của AB thì Ma2;b2;0 . Đường thẳng d là trục của nên d đi qua M và nhận vecto chỉ phương k→=0;0;1

Phương trình tham số của đường thẳng d:x=a2y=b2z=tt∈ℝ .

Gọi N là trung điểm của OC thì N0;0;c2.

Mặt phẳng (P) là mặt phẳng trung trực của OC nên (P) đi qua M và nhận vecto pháp tuyến là k→=0;0;1.

Phương trình tổng quát của mặt phẳng P:z=c2 .

Khi đó tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P), tức Ia2;b2;c2 .

2. Tìm mặt phẳng (P) là quỹ tích của tâm I và tính dO;P .

Ta có xI=a2;yI=b2;zI=c2⇒a=2xIb=2yIc=2zI

Mà a+2b+2c=6 nên 2xI+2.2yI+2.2zI=6⇔xI+2yI+2zI−3=0

Vậy điểm I luôn nằm trên một mp cố định có pt là P:x+2y+2z−3=0 .

Vậy dO;P=0+2.0+2.0−312+22+22=1