Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) y = (x^2 - 2x + 2)/(x - 1}}\);

a) \(y = \frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{x - 1}}\)

Tập xác định: D = ℝ\{1}.

Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  - \infty \)

 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{y}{x}\) = 1 và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } (y - x) =  - 1\)nên đường thẳng y = x – 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y =  - \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y =  + \infty \) nên đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có: y' = \(\frac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)

           y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.

Ta có bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−∞; 0) và (2; +∞).

Nghịch biến trên mỗi khoảng (0; 1) và (1; 2).

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và yCĐ = −2.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và yCT = 2.

Đồ thị hàm số:

b) Tập xác định: D = ℝ\\(\left\{ { - \frac{1}{2}} \right\}\).

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  + \infty \).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{y}{x}\) = −2 và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {y + 2x} \right)\) = 0 nên đường thẳng y = −2x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ - }} y =  - \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ + }} y =  + \infty \) nên x = \( - \frac{1}{2}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có: y' = \(\frac{{ - 2{{\left( {2x + 1} \right)}^2} - 2}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}\) = −2 – \(\frac{2}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}\).

Vì y' < 0 với mọi x ≠ \( - \frac{1}{2}\) nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - \frac{1}{2}} \right)\) và \(\left( { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)\).

Bảng biến thiên:

Hàm số không có cực trị.

Đồ thị hàm số: