Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) y = 3 + 1/x; b) y = 2 – 1/(1+x)

a) y = 3 + \(\frac{1}{x}\)

Tập xác định: D = ℝ\{0}.

Giới hạn của hàm số:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {3 + \frac{1}{x}} \right) = 3\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {3 + \frac{1}{x}} \right) = 3\).

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 3.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {3 + \frac{1}{x}} \right) = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {3 + \frac{1}{x}} \right) = - \infty \).

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 0.

Ta có: y' = \( - \frac{1}{{{x^2}}}\)

           y' < 0 với mọi x ≠ 0 nên hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; 0) và (0; +∞).

Ta có bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

b) y = 2 – \(\frac{1}{{1 + x}}\)

Tập xác định: D = ℝ\{−1}.

Giới hạn của hàm số:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {2 - \frac{1}{{1 + x}}} \right) = 2\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2 - \frac{1}{{1 + x}}} \right) = 2\).

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 2.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {2 - \frac{1}{{1 + x}}} \right) = - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( {2 - \frac{1}{{1 + x}}} \right) = + \infty \).

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = −1.

Ta có bảng biến thiên:

Ta có: y' = \(\frac{1}{{{{\left( {1 + x} \right)}^2}}}\) > 0 với mọi x ≠ −1 nên hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −1) và (−1; +∞).

Đồ thị hàm số: