Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) y = x^3 – 3x^2;

a) Ta có y = x³ – 3x².

+ Tập xác định của hàm số là ℝ.

+ Sự biến thiên:

Ta có y' = 3x² – 6x; y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.

Trên các khoảng (– ∞; 0) và (2; +∞), y' > 0 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó. Trên khoảng (0;2), y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng đó.

Hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại của hàm số y_CĐ = 0.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu của hàm số y_CT = – 4.

Giới hạn tại vô cực:$\underset{x\to +\infty }{\text{lim}}y=\underset{x\to +\infty }{\text{lim}}\left(x^3-3x^2\right)=+\infty ;\underset{x\to -\infty }{\text{lim}}y=\underset{x\to -\infty }{\text{lim}}\left(x^3-3x^2\right)=-\infty .$

Bảng biến thiên:

+ Đồ thị:

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm (0;0).

Ta có y = 0 ⇔ x³ – 3x² = 0 ⇔ x²(x – 3) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 3.

Do đó, đồ thị hàm số cắt trục hoành tại các điểm (0;0) và (3;0).

Đồ thị có tâm đối xứng là điểm (1; –2).

Đồ thị hàm số y = x³ – 3x² như hình dưới đây.