Khai triển ( z^2 + 1 + 1/z)^4

Hướng dẫn giải

Trước hết, ta sử dụng công thức khai triển của (a + b)⁴ với a = z² + 1 và \(b = \frac{1}{z}\).

Sau đó, ta sử dụng các công thức khai triển của (a + b)⁴, (a + b)³, (a + b)² với a = z², b = 1 để có:

\({\left( {{z^2} + 1} \right)^4} = C_4^0.{({z^2})^4} + C_4^1.{({z^2})^3}.1 + C_4^2.{({z^2})^2}{.1^2} + C_4^3.{z^2}{.1^3} + C_4^4{.1^4}\)

= z⁸ + 4z⁶ + 6z⁴ + 4z² + 1

\({\left( {{z^2} + 1} \right)^3} = C_3^0.{({z^2})^3} + C_3^1.{({z^2})^2}.1 + C_3^2.{z^2}{.1^2} + C_3^3{.1^3}\)

= z⁶ + 3z⁴ + 3z² + 1

(z² + 1)² = z⁴ + 2z² + 1

Vậy ta có:

\({\left( {{z^2} + 1 + \frac{1}{z}} \right)^4} = {\left[ {\left( {{z^2} + 1} \right) + \frac{1}{z}} \right]^4}\)

\( = C_4^0.{\left( {{z^2} + 1} \right)^4} + C_4^1{\left( {{z^2} + 1} \right)^3}\frac{1}{z} + C_4^2{\left( {{z^2} + 1} \right)^2}\frac{1}{{{z^2}}} + C_4^3\left( {{z^2} + 1} \right)\frac{1}{{{z^3}}} + C_4^4\frac{1}{{{z^4}}}\)

\( = {\left( {{z^2} + 1} \right)^4} + 4{\left( {{z^2} + 1} \right)^3}\frac{1}{z} + 6{\left( {{z^2} + 1} \right)^2}\frac{1}{{{z^2}}} + 4\left( {{z^2} + 1} \right)\frac{1}{{{z^3}}} + \frac{1}{{{z^4}}}\)

\( = \left( {{z^8} + 4{z^6} + 6{z^4} + 4{z^2} + 1} \right) + 4\left( {{z^6} + 3{z^4} + 3{z^2} + 1} \right)\frac{1}{z}\)

\( + 6\left( {{z^4} + 2{z^2} + 1} \right)\frac{1}{{{z^2}}} + 4\left( {{z^2} + 1} \right)\frac{1}{{{z^3}}} + \frac{1}{{{z^4}}}\)

\( = {z^8} + 4{z^6} + 4{z^5} + 6{z^4} + 12{z^3} + 10{z^2} + 12z + 13 + \frac{8}{z} + \frac{6}{{{z^2}}} + \frac{4}{{{z^3}}} + \frac{1}{{{z^4}}}\).