Hướng dẫn giải

1) Ta có hình vẽ

Để đo khoảng cách giữa hai vị trí B và N ở hai bên bờ sông, bạn Minh chọn ba vị trí A, M,C cùng nằm ở một bên bờ sông sao cho ba điểm A,M,C thẳng hàng; ba điểm B;N;A thẳng hàng và BC song song MN (như hình vẽ) (ảnh 2)

Xét \(\Delta ABC\) có: \(MN\,{\rm{//}}\,BC\) (giả thiết) suy ra \(\frac{{AM}}{{CM}} = \frac{{AN}}{{BN}}\) (định lý Thalès)

Mà \(AM = 50\;{\rm{m}}\), \(CM = 60\,{\rm{m}}\), \(AN = 55\,{\rm{m}}\) (giả thiết) nên \(\frac{{50}}{{60}} = \frac{{55}}{{BN}}\)

Suy ra \(BN = \frac{{55\,.\;60}}{{50}} = 66\).

Vậy \(BN\) dài \(66\;{\rm{m}}\).

2)

Để đo khoảng cách giữa hai vị trí B và N ở hai bên bờ sông, bạn Minh chọn ba vị trí A, M,C cùng nằm ở một bên bờ sông sao cho ba điểm A,M,C thẳng hàng; ba điểm B;N;A thẳng hàng và BC song song MN (như hình vẽ) (ảnh 3)

a) Ta có: \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) suy ra \(\widehat {BAC} = 90^\circ \) hay \(\widehat {MAN} = 90^\circ \)

Và \(HM \bot AB\;\left( {M \in AB} \right)\) (giả thiết) suy ra \(\widehat {HMA} = 90^\circ \)

\(HN \bot AC\;\left( {N \in AC} \right)\) (giả thiết) suy ra \(\widehat {HNA} = 90^\circ \)

Xét tứ giác \(AMHN\) có: \(\widehat {MAN} = \widehat {HMA} = \widehat {HNA} = 90^\circ \)

Vậy tứ giác \(AMHN\) là hình chữ nhật.

b) Xét tứ giác \(AHKC\) có hai đường chéo là \(AK\) và \(HC\), có:

\(I\) là trung điểm của \(HC\) (giả thiết)

\(I\) là trung điểm của \(AK\) (giả thiết)

Và \(HC\) cắt \(AK\) tại \(I\)

Suy ra tứ giác \(AHKC\) là hình bình hành (theo dấu hiệu nhận biết)

Suy ra \(KH\;{\rm{//}}\;AC\), và \(AH = CK\).

Từ chứng minh a) có: \(AMHN\) là hình chữ nhật nên \(AH = MN\)

Vậy \(MN = CK\).

c) Hình chữ nhật \(AMHN\) có \(O\) là giao điểm của \(AH\) và \(MN\).

Suy ra \(O\) là trung điểm của \(AH\).

Xét \(\Delta HAC\) có: \(CO,\;AI\) là hai đường trung tuyến cắt nhau tại \(D\)

Suy ra \(AD = \frac{2}{3}AI\)

Theo giả thiết \(I\) là trung điểm của \(AK\) nên \(AI = \frac{1}{2}AK\)

Do đó \(AD = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}AK = \frac{1}{3}AK\) hay \(AK = 3AD\).

Khai triển (x + 3)^3 ta được: