Khai triển đa thức P(x) = {(1 + 2x)^{12}} = {a_0} + {a_1}x +.... + {a_{12}x^{12}

91/234

Khai triển đa thức \[P(x) = {(1 + 2x)^{12}} = {a_0} + {a_1}x + \cdots + {a_{12}}{x^{12}}.\]

Tìm hệ số \({a_k}\;(0 \le k \le 12)\) lớn nhất trong khai triển trên.

\(C_{12}^8{2^8}\)

\(C_{12}^9{2^9}\)

\(C_{12}^{10}{2^{10}}\)

\(1 + C_{12}^8{2^8}\)

Giải thích

Phương pháp giải:

Sử dụng khai triển nhị thức Newton và xét tỉ số hai hệ số liên tiếp.

Giải chi tiết:

Theo khai triển nhị thức Newton:

\[{(1 + 2x)^{12}} = \sum\limits_{k = 0}^{12} {\left( \begin{array}{c}12\\k\end{array} \right)} {2^k}{x^k}.\]

Suy ra:

\[{a_k} = \left( \begin{array}{c}12\\k\end{array} \right){2^k}.\]

Xét:

\[\frac{{{a_{k + 1}}}}{{{a_k}}} = \frac{{\left( \begin{array}{c}12\\k + 1\end{array} \right){2^{k + 1}}}}{{\left( \begin{array}{c}12\\k\end{array} \right){2^k}}} = \frac{{12 - k}}{{k + 1}} \cdot 2.\]

Ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{a_{k + 1}} \ge {a_k} \Leftrightarrow \frac{{12 - k}}{{k + 1}} \cdot 2 \ge 1,}\\{{a_{k + 1}} \le {a_k} \Leftrightarrow \frac{{12 - k}}{{k + 1}} \cdot 2 \le 1.}\end{array}} \right.\)

Giải bất đẳng thức:

\[\frac{{12 - k}}{{k + 1}} \ge \frac{1}{2} \Leftrightarrow 24 - 2k \ge k + 1 \Leftrightarrow k \le \frac{{23}}{3}.\]

Suy ra hệ số lớn nhất đạt tại \(k = 8\).

Vậy hệ số lớn nhất là:

\[{a_8} = \left( \begin{array}{c}12\\8\end{array} \right){2^8}.\]

Chọn A.