Kéo số ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp: Đồ thị hàm số f ( x ) = (x + 2) /( √ x^2 − 4) có _______ tiệm cận đứng và _______ tiệm cận ngang.

Đáp án

Đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{x + 2}}{{\sqrt {{x^2} - 4} }}\) có 1  tiệm cận đứng và 2  tiệm cận ngang.

Giải thích

Tập xác định. \(D = \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\).

Cách 1.

TH1. \(x <  - 2 \Leftrightarrow x + 2 < 0\).

Khi đó \(f\left( x \right) = \frac{{x + 2}}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} = \frac{{ - \sqrt {{{(x + 2)}^2}} }}{{\sqrt {\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)} }} =  - \sqrt {\frac{{x + 2}}{{x - 2}}} \).

\(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  - \infty } \left( { - \sqrt {\frac{{x + 2}}{{x - 2}}} } \right) = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  - \infty } \left( { - \sqrt {\frac{{1 + \frac{2}{x}}}{{1 - \frac{2}{x}}}} } \right) =  - 1\)

\(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {{( - 2)}^ - }} f\left( x \right) = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {{( - 2)}^ - }} \left( { - \sqrt {\frac{{x + 2}}{{x - 2}}} } \right) = 0\)

Suy ra đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) có 1 tiệm cận ngang \(y =  - 1\), không có tiệm cận đứng.

TH2. \(x > 2 \Rightarrow x + 2 > 0\).

Khi đó \(f\left( x \right) = \frac{{x + 2}}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} = \frac{{\sqrt {{{(x + 2)}^2}} }}{{\sqrt {\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)} }} = \sqrt {\frac{{x + 2}}{{x - 2}}} \).

\(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  + \infty } \sqrt {\frac{{x + 2}}{{x - 2}}}  = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to  + \infty } \sqrt {\frac{{1 + \frac{2}{x}}}{{1 - \frac{2}{x}}}}  = 1\)

\(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {2^ + }} \sqrt {\frac{{x + 2}}{{x - 2}}}  =  + \infty \)

Suy ra đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) có 1 tiệm cận ngang y = 1, 1 tiệm cận đứng \(x = 2\).

Vậy đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) có 2 tiệm cận ngang, 1 tiệm cận đứng.

Cách 2. Sử dụng Casio

Nhập \(\frac{{x + 2}}{{\sqrt {{x^2} - 4} }}\)

 ta được kết quả \( \approx 6324,55 \to  + \infty \) nên \(x = 2\) là tiệm cận đứng.

 ta được kết quả \( \approx 0\) nên \(x =  - 2\) không là tiệm cận đứng.

 và \({10^8}\) ta được kết quả \( \approx 1\) nên \(y = 1\) là tiệm cận ngang.

 và \( - {10^8}\) ta được kết quả \( \approx  - 1\) nên \(y =  - 1\) là tiệm cận ngang.

Vậy đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) có 2 tiệm cận ngang, 1 tiệm cận đứng.