Kẻ phân giác góc A M B cắt A B tại P . Tìm vị trí của M thỏa mãn đề bài để M P/ M A + M B đạt giá trị lớn nhất.

d) Ta có MP là tia phân giác của AMB^ nên AMP^=BMP^=12AMB^=12⋅90°=45°.

Gọi Q là giao điểm của MP với đường tròn (O;R) Khi đó AQB^=90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) và ABQ^=AMQ^=45° (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AQ của đường tròn (O))

Suy ra ΔQAB vuông cân tại Q

Do đó sinABQ^=AQAB hay AQAB=22 nên ABAQ=2.

Xét ΔMPA và ΔBPQ có: AMP^=QBP^ (chứng minh trên) và MPA^=BPQ^ (đối đỉnh)

Do đó ΔMPA∽ΔBPQ (g.g). Suy ra MPBP=MABQ hay MPMA=BPBQ.

Tương tự ΔMPB∽ΔAPQ (g.g), suy ra MPMB=APAQ.

Do đó MPMA+MPMB=BPBQ+APAQ=ABAQ=2 (do BQ=AQ vì  vuông cân tại Q.)

¬ Chứng minh bất đẳng thức bổ đề: Với \(x > 0,\,\,y > 0\) ta luôn có \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{{x + y}}.\)

Thật vậy, với \(x > 0,\,\,y > 0\) ta có: \({\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\)

\({x^2} - 2xy + {y^2} \ge 0\)

\({x^2} + 2xy + {y^2} \ge 4xy\)

\(\frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{xy\left( {x + y} \right)}} \ge \frac{{4xy}}{{xy\left( {x + y} \right)}}\)

\(\frac{{x + y}}{{xy}} \ge \frac{4}{{x + y}}\)

\[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{{x + y}}\].

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \({\left( {x - y} \right)^2} = 0\) hay \(x = y.\) Bất đẳng thức trên đã được chứng minh.

Áp dụng bất đẳng thức trên, ta có: \(\frac{1}{{MA}} + \frac{1}{{MB}} \ge \frac{4}{{MA + MB}}\)

Hay \(\frac{{MP}}{{MA + MB}} \le MP \cdot \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{MA}} + \frac{1}{{MB}}} \right) = \frac{1}{4} \cdot \left( {\frac{{MP}}{{MA}} + \frac{{MP}}{{MB}}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{4}.\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(MA = MB.\)

Vậy giá trị lớn nhất của \(\frac{{MP}}{{MA + MB}}\) là \(\frac{{\sqrt 2 }}{4}\) khi \(MA\, = \,MB\) hay \(M\) là điểm chính giữa cung \(AB.\)