Kẻ đường kính BD , gọi E là hình chiếu của C trên BD , K là giao điểm của AD và CE . Chứng minh rằng K là trung điểm của CE .

b) ⦁ Ta có: \[CE\,{\rm{//}}\,AB\] (cùng vuông góc với \[BD\])

Suy ra \[\frac{{EK}}{{AB}} = \frac{{DE}}{{DB}}\] (hệ quả định lí Thalès).

Do đó \[EK.BD = DE.AB\](∗).

⦁ Xét \(\Delta BCD\) có \(CO\) là đường trung tuyến ứng với cạnh \(BD\) và \(CO = BO = DO = R = \frac{{BD}}{2}\) (do \(BD\) là đường kính) nên \(\Delta BCD\) vuông tại \(C.\)

Ta có \(BC \bot CD,\,\,BC \bot OA\) nên \(CD\,{\rm{//}}\,OA\), do đó \(\widehat {AOB} = \widehat {CDE}\)(đồng vị)

Xét \[\Delta ABO\] và \[\Delta CED\] có: \(\widehat {ABO} = \widehat {CED} = 90^\circ \) và \(\widehat {AOB} = \widehat {CDE}\)

Do đó (g.g).

Suy ra \[\frac{{AB}}{{CE}} = \frac{{BO}}{{ED}}\] hay \[CE.BO = DE.AB\](∗∗).

Từ (∗) và (∗∗) suy ra \[EK.BD = CE.BO\].

Mà \[BD = 2BO\], suy ra \[EK \cdot 2BO = CE.BO\], suy ra \[2EK = CE\].

Do đó \[K\] là trung điểm của \[CE.\]