Hỏi mỗi tháng nhà máy nên sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất? Biết rằng kết quả khảo sát thị trường cho thấy sản phẩm sản xuất ra sẽ được tiêu thụ hết.

Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\1700 - 7x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < x < \frac{{1700}}{7}\).

Doanh thu được khi công ty sản xuất và tiêu thụ hết \(x\) sản phẩm là \(R\left( x \right) = xp\left( x \right) = 1700x - 7{x^2}\)

Do đó, lợi nhuận thu được là

\(P\left( x \right) = xp\left( x \right) - C\left( x \right)\)\( = 1700x - 7{x^2} - \left( {16\,000 + 500x - 1,6{x^2} + 0,004{x^3}} \right)\)

\(P\left( x \right) =  - 0,004{x^3} - 5,4{x^2} + 1200x - 16\,000\), \(0 < x < \frac{{1700}}{7}\).

\(P'\left( x \right) =  - 0,012{x^2} - 10,8x + 1200\); \(P'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow  - 0,012{x^2} + 10,8x + 1200 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1000\\x = 100\end{array} \right.\).

Đối chiếu điều kiện ta có \(x = 100\).

Lập bảng biến thiên của hàm số, ta thu được kết quả là \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0;\frac{{1700}}{7}} \right)} P\left( x \right) = P\left( {100} \right) = 46\,000\) (triệu).

Vậy công ty cần sản xuất 100 sản phẩm thì lợi nhuận thu được là cao nhất.

Đáp án: 100.