Hỏi khi đó khách sạn sẽ cách mỗi con đường một khoảng bằng bao nhiêu?

Gọi \[A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C\] là ba đỉnh của khu dân cư sao cho \[AB = 900\] m, \[AC = 1{\rm{ }}200\] m và \[BC = 1{\rm{ }}500\] m.

Xét \(\Delta ABC\) có:

⦁\[A{B^2} + A{C^2} = {900^2} + 1{\rm{ }}{200^2} = 2{\rm{ }}250{\rm{ }}000;\]

⦁\[B{C^2} = 1{\rm{ }}{500^2} = 2{\rm{ }}250{\rm{ }}000.\]

Do đó \[A{B^2} + A{C^2} = B{C^2},\]  nên theo định lí Pythagore đảo ta có \(\Delta ABC\) vuông tại \[A.\]

Gọi \[O\] là vị trí xây dựng khách sạn; \[H,{\rm{ }}I,{\rm{ }}K\] lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ \[O\] đến \[AB,{\rm{ }}BC,{\rm{ }}CA.\]

Vì vị trí xây dựng khách sạn cách đều cả ba con đường nên \[OH = OI = OK.\]

Mặt khác, \({S_{OAB}} = \frac{1}{2} \cdot OH \cdot AB;\)\({S_{OBC}} = \frac{1}{2} \cdot OI \cdot BC;\)\({S_{OCA}} = \frac{1}{2} \cdot OK \cdot CA.\)

Mà \({S_{ABC}} = {S_{OAB}} + {S_{OBC}} + {S_{OCA}}\)

Suy ra \[{S_{ABC}} = \frac{1}{2} \cdot OH \cdot AB + \frac{1}{2} \cdot OI \cdot BC + \frac{1}{2} \cdot OK \cdot CA\]

Do đó \[{S_{ABC}} = \frac{1}{2} \cdot OH \cdot \left( {AB + BC + CA} \right)\]

Nên \(OH = \frac{{2{S_{ABC}}}}{{AB + BC + CA}}{\rm{.}}\)

Chu vi của phần đất giới hạn bởi tam giác \[ABC\] là:

\[AB + BC + CA = 900 + 1{\rm{ }}500 + 1{\rm{ }}200{\rm{ }} = 3{\rm{ }}600\] (m).

Diện tích của phần đất giới hạn bởi tam giác \[ABC\] là:

\({S_{ABC}} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 900 \cdot 1\,\,200 = 540\,\,000{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Do đó \(OH = \frac{{2{S_{ABC}}}}{{AB + BC + CA}} = \frac{{2 \cdot 540\,\,000}}{{3\,\,600}} = 300{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Vậy khách sạn sẽ cách mỗi con đường một khoảng là 300 mét.