Hỏi đội tuyển có tất cả bao nhiêu học sinh?

Hướng dẫn giải

Gọi số học sinh nam và nữ của đội tuyển lần lượt là \(x,\;y\) (học sinh)\(\left( {x,\,\,y \in {\mathbb{N}^*}} \right).\)

\(\frac{1}{2}\) số học sinh nam của đội tuyển là: \(\frac{1}{2}x\) (học sinh).

\(\frac{5}{8}\) số học sinh nữ của đội tuyển là: \(\frac{5}{8}y\)(học sinh).

Thi đấu theo cặp thì số học sinh nam thi đấu bằng số học sinh nữ thi đấu nên ta có phương trình: \(\frac{1}{2}x = \frac{5}{8}y\) hay \(4x = 5y\) nên \(4x - 5y = 0.\) (1)

Số học sinh nam còn lại để cổ vũ là: \(x - \frac{1}{2}x = \frac{1}{2}x\) (học sinh).

Số học sinh nữ còn lại để cổ vũ là: \(y - \frac{5}{8}y = \frac{3}{8}y\)(học sinh).

Theo bài, số học sinh còn lại không thi đấu là 16 học sinh nên ta có phương trình:

\(\frac{1}{2}x + \frac{3}{8}y = 16\)hay \(4x + 3y = 128.\)(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}4x - 5y = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\4x + 3y = 128\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Trừ từng vế của phương trình (1) cho phương trình (2), ta được phương trình:

\( - 8y =  - 128\)suy ra \(y = 16\) (thỏa mãn).

Thay \(y = 16\)vào phương trình (1), ta được:

\[4x - 5 \cdot 16 = 0\] suy ra \(4x = 80\) nên \(x = 20\) (thỏa mãn).

Vậy đội tuyển có tất cả \(20 + 16 = 36\) học sinh.