Hỏi để sơn toàn bộ số cửa sắt trên, bác Ba phải tốn bao nhiêu triệu đồng (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm theo đơn vị triệu đồng).
21/22
Nhà bác Ba có tất cả \(8\) cánh cửa sắt hình chữ nhật với chiều dài \(2\,{\rm{m}}\) và chiều rộng \(1\,{\rm{m}}\). Hai mặt của mỗi cánh cửa được thiết kế như hình vẽ bên. Trong đó, phần được tô đậm được sơn màu xanh, phần còn lại được sơn màu trắng. Mỗi phần sơn màu trắng có đường biên cong là một phần của parabol có đỉnh nằm trên cạnh của hình chữ nhật. Biết rằng chi phí để sơn màu xanh là \(120\) nghìn đồng\({\rm{/}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\) và chi phí sơn màu trắng là \(110\) nghìn đồng\({\rm{/}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\). Hỏi để sơn toàn bộ số cửa sắt trên, bác Ba phải tốn bao nhiêu triệu đồng (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm theo đơn vị triệu đồng).
Xét đồ thị parabol trên hệ trục tọa độ \(Oxy\) như hình bên.
Gọi parabol có phương trình là: \(y = a{x^2} + bx + c\).
Parabol đi qua các điểm có tọa độ \(\left( { - 0,5\,;\,1} \right),\,\,\left( {0,5\,;\,1} \right),\,\,\left( {0\,;\,0} \right)\), nên ta có hệ phương trình sau:
\(\left\{ \begin{array}{l}c = 0\\a \cdot 0,{5^2} + b \cdot 0,5 = 1\\a \cdot {\left( { - 0,5} \right)^2} + b \cdot \left( { - 0,5} \right) = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{c = 0}\\{a = 4}\\{b = 0}\end{array}} \right.\). Vậy ta có phương trình parabol \(y = 4{x^2}\).
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = 4{x^2}\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0;\,\,x = 0,5\) là: \({S_1} = \int\limits_0^{0,5} {4{x^2}{\rm{d}}x} = \frac{1}{6}\,\,{\rm{(}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}\).
Diện tích của phần tô đậm được sơn màu xanh của mỗi mặt cánh cửa là: \({S_2} = 4 \cdot {S_1} = 4 \cdot \frac{1}{6} = \frac{2}{3}\,\,{\rm{(}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}\).
Diện tích của một mặt cánh cửa là: \(S = 1 \cdot 2 = 2\,\,{\rm{(}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}\).
Diện tích của phần không tô đậm tô đậm được sơn màu trắng của mỗi mặt cánh cửa là:
\({S_3} = S - {S_2} = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}\,\,{\rm{(}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}\).
Có tất cả \(8\)cánh cửa sắt hình chữ nhật, mỗi cánh có 2 mặt, vậy có tất cả 16 mặt như hình vẽ.
Vậy tổng diện tích phần tô đậm được sơn màu xanh là: \(16{S_2} = 16 \cdot \frac{2}{3} = \frac{{32}}{3}\,\,{\rm{(}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}\).
Tổng diện tích phần không tô đậm được sơn màu trắng là: \(16{S_3} = 16 \cdot \frac{4}{3} = \frac{{64}}{3}\,\,{\rm{(}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}\).
Tổng chi phí để sơn màu xanh là: \(\frac{{32}}{3} \cdot 120 = 1\,280\) (nghìn đồng) \( = 1,28\) (triệu đồng).
Tổng chi phí để sơn màu trắng là: \(\frac{{64}}{3} \cdot 110 \approx 2\,347\)(nghìn đồng) \( \approx 2,35\) (triệu đồng).
Tổng chi phí sơn là: \(1,28 + 2,35 = 3,63\) (triệu đồng).
Đáp án: \(3,63\).