Hỏi D cách C một khoảng bao nhiêu mét? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
30/34
Trong một đợt diễn tập quốc phòng, hai người ở vị trí khác nhau cùng ngắm bắn một mục tiêu cố định trên không. Người ta gắn một hệ trục tọa độ \(Oxyz\) (đơn vị trên mỗi trục tính theo mét), mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) trùng với mặt đất. Người thứ nhất bắn một viên đạn đi qua hai điểm \(A\left( {5;\,7;\,10} \right)\) và \(B\left( {6;\,9;\,12} \right)\). Người thứ hai bắn một viên đạn đi qua hai điểm \(C\left( {15;\,17;\,5} \right)\) và \(D\) (điểm \(D\) ở độ cao \(26\,{\rm{m}}\) so với mặt đất). Biết rằng sau một thời gian rời khỏi nòng súng, hai viên đạn chạm với nhau tại vị trí cách điểm \(A\) một khoảng \(150\,{\rm{m}}\)(tham khảo hình vẽ).
Hỏi \(D\) cách \(C\) một khoảng bao nhiêu mét? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
Đáp án: 28,8.
Gọi \(E\left( {x;\,y;\,z} \right)\) là điểm va chạm của hai viên đạn.
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;\,2;\,2} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} = 3\).
Theo bài ra, ta có: \(AE = 150\); \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AE} \) cùng hướng.
Do đó \(\overrightarrow {AE} = \frac{{150}}{3}\overrightarrow {AB} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x - 5 = 50 \cdot 1}\\{y - 7 = 50 \cdot 2}\end{array}}\\{z - 10 = 50 \cdot 2}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x = 55}\\{y = 107}\end{array}}\\{z = 110}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow E\left( {55;\,107;\,110} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {CE} = \left( {40;\,90;105} \right)\)\( \Rightarrow \vec u = \left( {8;\,18;21} \right)\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(CE\).
Phương trình đường thẳng \(CE\) là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x = 15 + 8t}\\{y = 17 + 18t}\end{array}}\\{z = 5 + 21t}\end{array}} \right.\).
Theo bài ra ta có \(D\left( {a;\,b;\,26} \right)\)\( \in CE\), nên: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{a = 15 + 8t}\\{b = 17 + 18t}\end{array}}\\{26 = 5 + 21t}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{a = 23}\\{b = 35}\end{array}}\\{t = 1}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow D\left( {23;\,35;\,26} \right)\).
Vậy \(CD = \sqrt {{{\left( {23 - 15} \right)}^2} + {{\left( {35 - 17} \right)}^2} + {{\left( {26 - 5} \right)}^2}} = \sqrt {829} \approx 28,8\).