Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc [-20;20] để hàm số f(x) = 3x^4 + 4(1-m^2)x^3 + 6(m - 2m^2)x^2 + 12mx - 1 nghịch biến trên khoảng (0;1)?

Chọn B

Ta có:  f'x≤0,∀x∈0;1⇔12x3+121−2m2x2+12m−2m2x+12m≤0,∀x∈0;1

⇔x2x+1−2m2x.x+1+mx+1≤0,∀x∈0;1⇔x+1x2−2m2x+m≤0,∀x∈0;1

 

Vì x∈0;1⇒x+1>0 nên yêu cầu bài toán ⇔x2−2m2x+m⏟gx≤0,∀x∈0;1. (*)

Xét Δgx'=m4−m

TH1: Δgx'<0, do a=1>0⇒gx>0,∀x∈ℝ (không thỏa mãn).

TH2: Δgx'=0⇔m=1m=0 (không thỏa mãn).

TH3: Δgx'>0⇔m4−m>0⇔m>1m<0

Khi đó gx=0 có 2 nghiệm phân biệt  (giả sử x1<x2).

Ta có bảng xét dấu của g(x) như sau:

Theo yêu cầu bài toán ta có g0≤0g1≤0⇔m≤01−2m2+m≤0⇔m≤0m≥1m≤−12⇔m≤−12

Do m∈ℤm∈−20;20 nên ta nhận m∈−20;−19;...;−1. Vậy có tất cả 20 giá trị thỏa mãn.