Hỏi chi phí mua nguyên liệu của công ty ít nhất là bao nhiêu nghìn đồng?

Lời giải:

Gọi x là số tạ mía sử dụng và y là số tạ củ cải sử dụng (x ≥ 0, y ≥ 0).

Chi phí mua nguyên liệu là:

F(x; y) = 600x + 300y (nghìn đồng).

Sản lượng đường vàng: 40x + 8y ≥ 80 hay 5x + y ≥ 10.

Sản lượng đường trắng: 50x + 4y ≥ 20 hay 25x + 2y ≥ 10.

Khả năng cung cấp nguyên liệu: 0 ≤ x ≤ 8 và 0 ≤ y ≤ 12.

Ta có hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 8\\0 \le y \le 12\\5x + y \ge 10\\25x + 2y \ge 10\end{array} \right.\)

Biểu diễn tập nghiệm của các bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ:

– Đường thẳng x = 0 là đường thẳng trùng với trục Oy.

Chọn điểm I(1; 1) không thuộc đường thẳng x = 0, và thay vào biểu thức x ta được 1 > 0.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm I(1; 1).

– Tương tự, ta biểu diễn các miền nghiệm:

• Miền nghiệm của bất phương trình x ≤ 8 là nửa mặt phẳng bờ đường thẳng d₁: x = 8 chứa điểm I(1; 1).

• Miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm I(1; 1).

• Miền nghiệm của bất phương trình y ≤ 12 là nửa mặt phẳng bờ đường thẳng d₂: y = 12 chứa điểm I(1; 1).

• Miền nghiệm của bất phương trình 5x + y ≥ 10 là nửa mặt phẳng bờ đường thẳng d₃: y = 10 – 5x không chứa điểm I(1; 1).

• Miền nghiệm của bất phương trình 25x + 2y ≥ 10 là nửa mặt phẳng bờ đường thẳng d₄: y = 5 – 12,5x chứa điểm I(1; 1).

Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền không bị gạch như hình vẽ dưới đây:

Miền nghiệm của hệ là miền ngũ giác ABCDE với A(0; 12), B(8; 12), C(8; 0), D(2; 0) và E(0; 10).

Ta có F(0; 12) = 600 . 0 + 300 . 12= 3600;

F(8; 12) = 600 . 8 + 300 . 12= 8400;

F(8; 0) = 600 . 8 + 300 . 0= 4800;

F(2; 0) = 600 . 2 + 300 . 0= 1200;

F(0; 10) = 600 . 0 + 300 . 10= 3000.

Giá trị nhỏ nhất là F(2; 0) = 1200.

Vậy chi phí mua nguyên liệu của công ty ít nhất là 1 200 000 đồng khi chỉ dùng 2 tạ mía.