Hỏi cần ít nhất bao nhiêu chiếc điều hòa công suất 50 000 BTU?
31/34
Sân vận động Sport Hub (Singapore) là sân có mái vòng kì vĩ nhất thế giới. Đây là nơi diễn ra lễ khai mạc Đại hội thể thao Đông Nam Á được tổ chức tại Singapore năm 2015. Nền sân là một elip \[\left( E \right)\] có trục lớn dài 150 m, trục bé dài 90 m. Nếu cắt sân vận động theo một mặt phẳng vuông góc với trục lớp của \[\left( E \right)\] và cắt elip tại M, N thì ta được thiết diện luôn là một phần của hình tròn có tâm I (phần tô đậm) với MN là một dây cung và góc \[\widehat {MIN} = 90^\circ \]. Để lắp máy điều hòa không khí thì các kĩ sư cần tính thể tích phần không gian bên dưới mái che và bên trên mặt sân, coi như mặt sân là một mặt phẳng và thể tích vật liệu là mái không đáng kể. Biết rằng cách tính công suất cần đủ là 200 BTU/\[{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\]. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu chiếc điều hòa công suất 50 000 BTU?
Đáp án: 463.
Gọi bán kính của đường tròn tâm I là R, khi đó:
Diện tích hình quạt NIM là \[\frac{{\pi {R^2}}}{4}\].
Diện tích tam giác vuông NIM là \[\frac{1}{2}{R^2}\].
Diện tích hình viên phân giới hạn bởi cung nhỏ và đường tròn là \[{R^2}\left( {\frac{\pi }{4} - \frac{1}{2}} \right)\].
Mà tam giác NIM vuông nên \[ \Rightarrow R = \frac{{NM}}{{\sqrt 2 }}\].
Suy ra diện tích hình viên phân là \[\frac{{N{M^2}}}{2}\left( {\frac{\pi }{4} - \frac{1}{2}} \right)\] (1).
Phương trình elip có dạng \[\frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{{45}^2}}} = 1\]\[ \Rightarrow y = 45\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}}} \], mà \[M \in \left( E \right)\].
\[ \Rightarrow MN = 2y = 90\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}}} \] thay vào (1), ta được \[S = \frac{1}{2} \cdot {90^2}\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}}} \right)\left( {\frac{\pi }{4} - \frac{1}{2}} \right)\].
\[ \Rightarrow V = \int\limits_{ - 75}^{75} {\left[ {\frac{1}{2} \cdot {{90}^2}\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{75}^2}}}} \right)\left( {\frac{\pi }{4} - \frac{1}{2}} \right)} \right]{\rm{d}}x} \]\[ \approx 115\,\,586\].
Số BTU cần dùng là \[ \approx 200 \cdot 115\,\,586 \approx 23\,\,117\,\,251\].
Số máy điều hòa cần dùng là \[ \approx \frac{{23\,\,117\,\,251}}{{50\,\,000}} \approx 463\].