Hoạ sĩ thiết kế một micro có dạng khối tròn xoay, mặt cắt đứng chứa trục của khối tròn xoay có dạng như hình sau, trong đó

Đáp số: 117.

Đặt hệ trục Oxy như hình vẽ, đơn vị của mỗi trục là 1 cm. Gọi \({\rm{y}} = {\rm{f}}({\rm{x}})\) là đồ thị bao gồm cung nhỏ KA và đoạn thẳng AC, trong đó \({\rm{A}}(\sqrt 2 ;\sqrt 2 ).\)

\(V = \pi \int { - {2^{20}}} {(f(x))^2}dx = \pi \int_{ - 2}^{\sqrt 2 } {(f(} x){)^2}dx + \pi \int_{\sqrt 2 }^{20} {(f(} x){)^2}dx\)

Vì \({\rm{A}}(\sqrt 2 ;\sqrt 2 ),{\rm{C}}(20;1)\) nên phương trình đường thẳng AC là

\(\frac{{x - 20}}{{\sqrt 2 - 20}} = \frac{{y - 1}}{{\sqrt 2 - 1}} \Leftrightarrow y - 1 = (\sqrt 2 - 1)\frac{{x - 20}}{{\sqrt 2 - 20}} \Leftrightarrow y = \frac{{(1 - \sqrt 2 )x + 19\sqrt 2 }}{{20 - \sqrt 2 }}.\)

Phương trình đường tròn là \({{\rm{x}}^2} + {{\rm{y}}^2} = 4\), hàm số có đồ thị cung nhỏ KA là \(y = \sqrt {4 - {x^2}} ,x \in [ - 2;\sqrt 2 ].\)

\({\rm{V}} = \pi \int_{ - 2}^{\sqrt 2 } {{{\left( {\sqrt {4 - {{\rm{x}}^2}} } \right)}^2}} {\rm{dx}} + \pi \int_{\sqrt 2 }^{20} {{{\left[ {\frac{{(1 - \sqrt 2 ){\rm{x}} + 19\sqrt 2 }}{{20 - \sqrt 2 }}} \right]}^2}} {\rm{dx}}\)

\( = \pi \int_{ - 2}^{\sqrt 2 } {\left( {4 - {{\rm{x}}^2}} \right)} {\rm{dx}} + \pi \int_{\sqrt 2 }^{20} {{{\left[ {\frac{{(1 - \sqrt 2 ){\rm{x}} + 19\sqrt 2 }}{{20 - \sqrt 2 }}} \right]}^2}} {\rm{dx}} \approx 117\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right).\)