Họa sĩ thiết kế logo hình con cá cho một doanh nghiệp kinh doanh hải sản. Logo là hình giới hạn bởi hai Parabol dưới các kích thước được cho trong hình sau (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là cm)

Lời giải

Đáp số: 65

a) Gọi \[f\left( x \right),g\left( x \right)\] là các Parabol và \[f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\,\,\left( {a < 0} \right)\], \[g\left( x \right) = a'{x^2} + b'x + c'\,\,\left( {a' > 0} \right)\].

Dựa vào hình vẽ ta thấy \[f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\] đi qua các điểm \[\left( {0;3} \right);\left( {6;0} \right);\left( { - 6;0} \right)\].

Do đó \[\left\{ \begin{array}{l}f\left( 0 \right) = c = 3\\f\left( 6 \right) = 36a + 6b + c = 0\\f\left( { - 6} \right) = 36a - 6b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{1}{{12}}\\b = 0\\c = 3\end{array} \right.\]. Khi đó \[f\left( x \right) =  - \frac{1}{{12}}{x^2} + 3\].

Mặt khác \[g\left( x \right) = a'{x^2} + b'x + c'\] đi qua các điểm \[\left( {0; - 5} \right);\left( {6;0} \right);\left( { - 6;0} \right)\].

Do đó \[\left\{ \begin{array}{l}g\left( 0 \right) = c' =  - 5\\g\left( 6 \right) = 36a' + 6b' + c' = 0\\g\left( { - 6} \right) = 36a' - 6b' + c' = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a' = \frac{5}{{36}}\\b' = 0\\c' =  - 5\end{array} \right.\]. Khi đó \[g\left( x \right) = \frac{5}{{36}}{x^2} - 5\].

Diện tích của logo là

\[S = \int\limits_{ - 7}^6 {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|}  = \int\limits_{ - 7}^{ - 6} {\left[ {\frac{5}{{36}}{x^2} - 5 - \left( { - \frac{1}{{12}}{x^2} + 3} \right)} \right]dx}  + \int\limits_{ - 6}^6 {\left| { - \frac{1}{{12}}{x^2} + 3 - \left( {\frac{5}{{36}}{x^2} - 5} \right)} \right|dx} \]\( = \frac{{1766}}{{27}} \approx 65\left( {c{m^2}} \right)\).