Chọn D

Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a. Một mặt phẳng thay đổi, vuông góc với SO và cắt SO, SA, SB, SC, SD lần lượt tại I, M, N, P, Q. Một hình trụ có một đáy là đường tròn ngoại tiếp tứ giác (MNPQ) và một đáy nằm trên mặt phẳng (ABCD). Thể tích khối trụ lớn nhất bằng (ảnh 1)

Ta có OC=AC2=a22⇒SO=a2−a22=a22.

Do (MNPQ) song song với mặt đáy nên IPOC=SISO⇔IPa22=SIa22⇔IP=SI.

⇒IO=SO−OI=a22−IP.

Khi đó ta có thể tích khối trụ là V=IO.π.IP2=πa22−IPIP2

Cách 1:

Đặt x = IP với 0<x<a22, khi đó:

Xét hàm số fx=a22−xx2 với 0<x<a22

Ta có f'x=xa2−3x2=0⇔x=0lx=a23n

Bảng biến thiên:

Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a. Một mặt phẳng thay đổi, vuông góc với SO và cắt SO, SA, SB, SC, SD lần lượt tại I, M, N, P, Q. Một hình trụ có một đáy là đường tròn ngoại tiếp tứ giác (MNPQ) và một đáy nằm trên mặt phẳng (ABCD). Thể tích khối trụ lớn nhất bằng (ảnh 2)

Từ bảng biến thiên ta thấy maxx∈0;a22fx=fa23=a3227⇒Vmax=πa3227

Cách 2:

Áp dụng bất đẳng thức Am – Gm:

V=12πa2−2IPIP.IP≤12πa2−2IP+IP+IP327=πa3227.

Đẳng thức xảy ra ⇔a2−2IP=IP⇔IP=a23

Họ nguyên hàm tích phân x + sin2x dx bằng