Đáp án: 2.

Điểm P: Thay \(x = 2\) vào hàm số \(f\left( x \right)\): \(f\left( 2 \right) = \frac{1}{4}{\left( 2 \right)^3} + 2 = 2 + 2 = 4 \Rightarrow P\left( {2;4} \right)\)

Đường thẳng d: Đi qua \(O\left( {0;0} \right)\) và \(P\left( {2;4} \right)\), nên có phương trình \(y = \frac{4}{2}x \Rightarrow d:y = 2x\).

Điểm Q: Là giao điểm của \(d\) và \(\Delta \). Ta có phương trình hoành độ giao điểm:

\(2x = - x + 3 \Rightarrow 3x = 3 \Rightarrow x = 1 \Rightarrow y = 2 \Rightarrow Q\left( {1;2} \right)\)

Điểm R: Là giao điểm của \(\Delta \) và trục hoành \(y = 0\): \( - x + 3 = 0 \Rightarrow x = 3 \Rightarrow R\left( {3;0} \right)\)

Gọi \({x_0}\) là hoành độ giao điểm của đường cong \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(\Delta \). Dựa vào đồ thị, ta thấy \(1 < {x_0} < 2\).

Diện tích A: Giới hạn bởi đường \(y = 2x\) (trên), đường \(\Delta \) (dưới, từ \(x = 1\) đến \({x_0}\)) và đường \(y = f\left( x \right)\) (dưới, từ \(x = {x_0}\) đến \(x = 2\)).

\[A = \int\limits_1^{{x_0}} {\left[ {2x - \left( { - x + 3} \right)} \right]{\rm{d}}x} + \int\limits_{{x_0}}^2 {\left[ {2x - f(x} \right]{\rm{d}}x} = \int\limits_1^{{x_0}} {\left( {3x - 3} \right){\rm{d}}x} + \int\limits_{{x_0}}^2 {\left[ {2x - f\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} \]

Diện tích B: Giới hạn bởi đường \(y = f\left( x \right)\) (trên, từ \(x = 0\) đến \({x_0}\)), đường \(\Delta \) (trên, từ \(x = {x_0}\) đến \(x = 3\)) và trục hoành (dưới).

\(B = \int\limits_0^{{x_0}} {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_{{x_0}}^3 {\left( { - x + 3} \right){\rm{d}}x} \)

Ta lấy biểu thức \(B\) trừ đi \(A\):

\[B - A = \left( {\int\limits_0^{{x_0}} {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_{{x_0}}^3 {\left( { - x + 3} \right){\rm{d}}x} } \right) - \left( {\int\limits_1^{{x_0}} {\left( {3x - 3} \right){\rm{d}}x} + \int\limits_{{x_0}}^2 {\left[ {2x - f\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} } \right)\]

\[ = \int\limits_0^{{x_0}} {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_{{x_0}}^3 {\left( { - x + 3} \right){\rm{d}}x} - \int\limits_1^{{x_0}} {\left( {3x - 3} \right){\rm{d}}x} - \int\limits_{{x_0}}^2 {\left[ {2x - f\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} \]

\[ = \int\limits_0^{{x_0}} {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_{{x_0}}^3 {\left( { - x + 3} \right){\rm{d}}x} - \int\limits_1^{{x_0}} {\left( {3x - 3} \right){\rm{d}}x} - \int\limits_{{x_0}}^2 {2x{\rm{d}}x} + \int\limits_{{x_0}}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \]

\[ = \left( {\int\limits_0^{{x_0}} {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_{{x_0}}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} } \right) + \int\limits_{{x_0}}^3 {\left( { - x + 3} \right){\rm{d}}x} - \int\limits_1^{{x_0}} {\left( {3x - 3} \right){\rm{d}}x} - \int\limits_{{x_0}}^2 {2x{\rm{d}}x} \]

\[ = \int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_{{x_0}}^3 {\left( { - x + 3} \right){\rm{d}}x} - \int\limits_1^{{x_0}} {\left( {3x - 3} \right){\rm{d}}x} - \int\limits_{{x_0}}^2 {2x{\rm{d}}x} \]

Ta có

\[\int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^2 {\left( {\frac{1}{4}{x^3} + x} \right){\rm{d}}x} = \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{{16}} + \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^2 = \frac{{16}}{{16}} + \frac{4}{2} = 3\]

\[\int\limits_{{x_0}}^3 {\left( { - x + 3} \right){\rm{d}}x} = \frac{9}{2} - \left( { - \frac{{x_0^2}}{2} + 3{x_0}} \right) = \frac{{x_0^2}}{2} - 3{x_0} + \frac{9}{2}\]

\[\int\limits_1^{{x_0}} {\left( {3x - 3} \right){\rm{d}}x} = - \left( {\left( {\frac{{3x_0^2}}{2} - 3{x_0}} \right) - \left( {\frac{3}{2} - 3} \right)} \right) = - \frac{{3x_0^2}}{2} + 3{x_0} - \frac{3}{2}\]

\[\int\limits_{{x_0}}^2 {2x{\rm{d}}x} = - \left( {4 - x_0^2} \right) = - 4 + x_0^2\]

Thế vào ta được

\(B - A = 3 + \left( {\frac{1}{2} - \frac{3}{2} + 1} \right)x_0^2 + \left( { - 3 + 3} \right){x_0} + \frac{9}{2} - \frac{3}{2} - 4 = 3 + 0 \cdot x_0^2 + 0 \cdot {x_0} + 3 - 4 = 3 - 1 = 2\).

Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 5·2^x là.