Theo đề, ta cần tìm ∫2xx2+1+xlnx dx. Sau đó, ta xác định giá trị của .

Ta có:

∫2xx2+1+xlnx dx=∫2xx2+1 dx+∫xlnx dx.

Để tìm ∫2xx2+1+xlnx dx ta đặt I1=∫2xx2+1 dx và I2=∫xlnx dx và tìm I1, I2.

*I1=∫2xx2+1 dx.

Dùng phương pháp đổi biến.

Đặt t=x2+1, t≥1 ta được t2=x2+1, xdx=tdt.

Suy ra:

I1=∫2xx2+1 dx=∫2t2dt=23t3+C1=23x2+13+C1, trong đó C1 là 1 hằng số.

*I2=∫xlnx dx.

Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần.

Đặt u=lnxdv=xdx⇒du=1xdxv=12x2, ta được:

I2=∫xlnx dx=∫udv=uv−∫vdu=12x2lnx−∫12x2⋅1xdx=12x2lnx−12∫xdx=12x2lnx−14x2+C2.

∫2xx2+1+xlnx dx=I1+I2=23x2+13+C1+12x2lnx−14x2+C2=23x2+13+12x2lnx−14x2+C.

Suy ra để ∫2xx2+1+xlnx dx có dạng a3x2+13+b6x2lnx−14x2+C thì a=2∈ℚ, b=3∈ℚ.

Vậy đáp án chính xác là đáp án B.

Họ các nguyên hàm của hàm số y=sin2x là: