Hình vẽ dưới mô tả một cái ao hình ABCDE, ở giữa ao có một mảnh vườn hình tròn có bán kính 15 mét. Biết rằng:1. Hai bờ AE và BC nằm trên hai đường thẳng vuông góc với nhau, h
19/21
PHẦN IV. Tự luận. Học sinh trình bày tự luận từ câu 1 đến câu 3.
Hình vẽ dưới mô tả một cái ao hình \(ABCDE\), ở giữa ao có một mảnh vườn hình tròn có bán kính \(15\) mét. Biết rằng:
1. Hai bờ \(AE\) và \(BC\) nằm trên hai đường thẳng vuông góc với nhau, hai đường thẳng này cắt nhau tại điểm \(O\).
2. Bờ \(AB\) là một phần của parabol có đỉnh \(A\) và có trục đối xứng là đường thẳng \(OA\).
3. Độ dài \(OA = 40{\rm{\;m}}\), \(OB = 20{\rm{\;m}}\).
4. Tâm \(I\) của mảnh vườn lần lượt cách đường thẳng \(AE\) và \(BC\) là \(40{\rm{\;m}}\) và \(30{\rm{\;m}}\).
Người ta muốn bắc một cây cầu từ bờ \(AB\) của ao đến vườn. Tìm độ dài ngắn nhất của cây cầu đó.
Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho gốc tọa độ tại \(O\), tia \(OB\) trùng với tia \(Ox\) và tia \(OA\) trùng với tia \(Oy\).
Khi đó các điểm có tọa độ: \(A\left( {0;40} \right)\), \(B\left( {20;0} \right)\) và tâm hình tròn vườn là \(I\left( {40;30} \right)\).
Parabol có đỉnh \(A\left( {0;40} \right)\) và trục đối xứng là \(Oy\) nên có phương trình dạng: \(y = a{x^2} + 40\). Vì parabol đi qua điểm \(B\left( {20;0} \right)\) nên: \(0 = a \cdot {20^2} + 40 \Rightarrow 400a = - 40 \Rightarrow a = - 0,1\).
Do đó, phương trình cung parabol \(AB\) là: \(y = - 0,1{x^2} + 40\) với \(x \in \left[ {0;20} \right]\).
Gọi \(M\left( {x;y} \right)\) là một điểm bất kỳ nằm trên cung \(AB\). Khoảng cách từ tâm \(I\) tới điểm \(M\) tuân theo hệ thức:
\(I{M^2} = {\left( {x - 40} \right)^2} + {\left( {y - 30} \right)^2} = {\left( {x - 40} \right)^2} + {\left( { - 0,1{x^2} + 40 - 30} \right)^2}\)\( = 0,01{x^4} - {x^2} - 80x + 1700\).
Xét hàm số \(f\left( x \right) = 0,01{x^4} - {x^2} - 80x + 1700\) trên đoạn \(\left[ {0;20} \right]\). Đạo hàm: \(f'\left( x \right) = 0,04{x^3} - 2x - 80\).
Giải phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) trên \(\left[ {0;20} \right]\) thu được nghiệm \(x \approx 13,92\).
Ta có bảng biến thiên:
Thay vào tính khoảng cách ta được \(I{M_{min}} \approx 27,71{\rm{\;m}}\).
Khoảng cách ngắn nhất từ bờ \(AB\) đến rìa khu vườn hình tròn là: \(d = I{M_{min}} - R = 27,71 - 15 = 12,71{\rm{\;m\'e t}}\).