Hình vẽ dưới đây mô tả một cây cầu vượt có mặt cắt đứng là một phần parabol nối hai điểm A, B và nhận đường trung trực của đoạn AB làm trục đối xứng, AB = 400 m. Khoảng cách từ đỉnh cây cầu đ
21/22
Hình vẽ dưới đây mô tả một cây cầu vượt có mặt cắt đứng là một phần parabol nối hai điểm \(A,B\) và nhận đường trung trực của đoạn \(AB\) làm trục đối xứng, \(AB = 400m\). Khoảng cách từ đỉnh cây cầu đến \(AB\) bằng \(8m\). Xét tiếp tuyến \(d\) tại điểm \(M\) trên mặt cầu, người ta quy ước \(\tan \left( {\Delta ,d} \right)\) là độ dốc tại \(M\) của mặt cầu, với \(\Delta \) là đường thẳng đi qua hai điểm \(A,B\). Độ dốc lớn nhất của mặt cầu là bao nhiêu?
Đáp án: \(0,08\).
Dựng hệ trục toạ độ \(Oxy\) như hình vẽ.
Phương trình parabol \(\left( P \right):y = a\left( {{x^2} - {{200}^2}} \right)\), với \( - 200 \le x \le 200\).
Ta có \(y\left( 0 \right) = 8 \Rightarrow a = - \frac{8}{{{{200}^2}}} = - 0,0002\)
Þ \(\left( P \right):y = - 0,0002.\left( {{x^2} - {{200}^2}} \right)\)
Hệ số góc của tiếp tuyến của parabol bằng \(k = y'\left( x \right) = - 0,0004x\).
Độ dốc của mặt cầu (độ dốc dương) là \(k = \tan \left( {\Delta ,d} \right) = 0,0004\left| x \right|\).
Vì \( - 200 \le x \le 200\) Þ \(\left| x \right| \le 200\)
Þ \(k \le 0,0004 \times 200\) hay \(k \le 0,08\).