Hình vẽ dưới đây mô tả mặt cắt ngang của một khu du lịch sinh thái kết nối hai đỉnh núi tại A và B bằng một cầu treo có hình dạng là một đường cong parabol. Trong hệ trục Oxy, trục Ox biểu th

Để bài làm nhìn gọn hơn, ta chuẩn hóa đơn vị về kilomet. Gọi parabol \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\)

Parabol đi qua điểm \(A\left( {1;\,1} \right)\) và điểm \(B\left( {3;\,0,8} \right)\)

Độ dốc tại \(A\) có độ lớn bằng \(0,3\) nhưng nó đang đi xuống từ trái sang phải nên độ dốc là \( - 0,3\)

Khi đó ta có: \[y'\left( 1 \right) =  - 0,3 \Leftrightarrow 2a.1 + b =  - 0,3 \Leftrightarrow 2a + b =  - 0,3\]

Từ đó ta có hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 1\\9a + 3b + c = 0,8\\2a + b =  - 0,3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{{10}}\\b =  - \frac{1}{2}\\c = \frac{7}{5}\end{array} \right. \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{1}{{10}}{x^2} - \frac{1}{2}x + \frac{7}{5}\]

Sợi cáp an toàn là đường thẳng \(g\left( x \right) = mx + n\) đi qua \[A\left( {1;\,1} \right)\] và \(B\left( {3;\,0,8} \right)\) có phương trình là:

\(g\left( x \right) =  - \frac{1}{{10}}x + \frac{{11}}{{10}}\)

Khoảng cách giữa cáp an toàn và cầu treo theo phương thẳng đứng là : \(D\left( x \right) = g\left( x \right) - f\left( x \right)\)

\[ \Leftrightarrow D\left( x \right) = \left( { - \frac{1}{{10}}x + \frac{{11}}{{10}}} \right) - \left( {\frac{1}{{10}}{x^2} - \frac{1}{2}x + \frac{7}{5}} \right) \Leftrightarrow D\left( x \right) =  - \frac{1}{{10}}{x^2} + \frac{2}{5}x - \frac{3}{{10}}\]

Khảo sát hàm số \(D\left( x \right)\) để tìm khoảng cách lớn nhất. Nhận thấy, đây là đồ thị của hàm số bậc hai có hệ số \(a < 0\) nên sẽ đạt giá trị lớn nhất tại \(x =  - \frac{b}{{2a}} =  - \frac{{\frac{2}{5}}}{{2.\left( { - \frac{1}{{10}}} \right)}} = 2 \Rightarrow {D_{\max }}\left( 2 \right) = 0,1\)(km)

Vậy khoảng cách lớn nhất giữa cáp an toàn và cầu treo theo phương thẳng đứng là \(100\) mét.