Cho tam giác ABC vuông tại A có đường caoAH, từ H kẻ HM⊥AB,HN⊥AC(M∈AB,N∈AC). (a) Chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật. (b) Trên tia đối của tia MH lấy điểm D sao cho MD=MH. Chứng minh AN=DM và tứ giác ADMN là hình bình hành. (ảnh 1)

a) Chứng minh tứ giác \[AMHN\]là hình chữ nhật.

Ta có: \[HM \bot AB,HN \bot AC\]\[\left( {M \in AB,N \in AC} \right)\]

Suy ra \[\widehat {HMA} = 90^\circ \,;\,\,\widehat {HNA} = 90^\circ \]

Vì \[\Delta ABC\] vuông tại A nên \[\widehat {BAC} = 90^\circ \]

Xét tứ giác \[AMHN\]có: \[\widehat {HMA} = \widehat {HNA} = \widehat {BAC} = 90^\circ \]

Suy ra tứ giác \[AMHN\] là hình chữ nhật.

b) Trên tia đối của tia \[MH\] lấy điểm D sao cho \[MD = MH\]. Chứng minh \[AN = DM\] và tứ giác \[ADMN\]là hình bình hành.

Vì \[AMHN\]là hình chữ nhật nên \[MH = AN\]và \[MH\,{\rm{//}}\,AN\] (theo tính chất)

Mà \[MD = MH\] (theo giả thiết) nên \[DM = AN\].

Ta có: \[MH\,{\rm{//}}\,AN\] mà \[D \in MH\]nên \[DH\,{\rm{//}}\,AN\]hay \[MD\,{\rm{//}}\,AN\].

Xét tứ giác \[ADMN\] có: \[DM = AN\] (cmt); \[MD\,{\rm{//}}\,AN\] (cmt).

Suy ra tứ giác \[ADMN\] là hình bình hành.

c) Lấy điểm \[E\]sao cho \[N\]là trung điểm của \[HE\]. Tứ giác \[MNED\] là hình gì?

Chứng minh tương tự: tứ giác \[AMNE\] là hình bình hành.

Suy ra: \[AE\,{\rm{//}}\,MN\] (theo tính chất) (1).

Vì\[ADMN\] là hình bình hành nên \[AD\,{\rm{//}}\,MN\](theo tính chất) (2).

Từ (1), (2) suy ra \[D,A,E\] thẳng hàng và \[DE\,{\rm{//}}\,MN\].

Xét tứ giác \[MNED\] có \[DE\,{\rm{//}}\,MN\] (cmt)

Suy ra \[MNED\] là hình thang.

Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau là hình thang cân