Hệ thống lọc nước bể bơi vô cùng quan trọng khi tiến hành xây dựng công trình bơi lội để nguồn nước được làm sạch thường xuyên và giữ vệ sinh cho người bơi.

Đặt \(F\left( t \right)\) là hàm số thể hiện lượng nước trong bể sau \(t\) giờ kể từ \(6\) giờ sáng.

Suy ra \(F\left( t \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( t \right)\).

Vì hàm số \(f\left( t \right)\) liên tục trên \(\left[ {0;12} \right]\) nên hàm số \(F\left( t \right)\) cũng liên tục trên \(\left[ {0;12} \right]\).

Lượng nước lúc 4 giờ chiều (\(t = 10\)) là

\[\begin{array}{l}F\left( {10} \right) &  = \left[ {F\left( {10} \right) - F\left( 6 \right)} \right] + \left[ {F\left( 6 \right) - F\left( 3 \right)} \right] + \left[ {F\left( 3 \right) - F\left( 2 \right)} \right] + F\left( 2 \right)\\ &  = \int\limits_6^{10} {f\left( t \right){\rm{d}}t}  + \int\limits_3^6 {f\left( t \right){\rm{d}}t}  + \int\limits_2^3 {f\left( t \right){\rm{d}}t}  + F\left( 2 \right)\\ &  = \int\limits_6^{10} {\left( {{\rm{100}}t - 900} \right){\rm{d}}t}  + \int\limits_3^6 {\left( { - 200t + 900} \right){\rm{d}}t}  + \int\limits_2^3 {100t{\rm{d}}t}  + F\left( 2 \right)\\ &  = \left. {\left( {50{t^2} - 900t} \right)} \right|_6^{10} + \left. {\left( { - 100{t^2} + 900t} \right)} \right|_3^6 + \left. {\left( {50{t^2}} \right)} \right|_2^3 + 500\\ &  =  - 400 + 0 + 250 + 500 = 350\end{array}\]

Vậy lúc 4 giờ chiều bể chứa 350 gallon nước.

Đáp án cần nhập là: 350.