$Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], cho đường thẳng \[d:3x + 4y - 12 = 0\] và elip \[\left( E \right)\] có độ dài trục lớn bằng \[8\], độ dài trục nhỏ bằng \[6\] (ảnh 1)$

\[\left( E \right)\] có phương trình chính tắc dạng \[\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\]. Theo giả thiết ta có \[a = 4,\,b = 3\] nên phương trình của elip \[\left( E \right)\] là \[\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\].

Tọa độ điểm giao điểm \[A\], \[B\] của \[d\] và \[\left( E \right)\] là nghiệm của hệ phương trình :

\[\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y - 12 = 0\\\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + 4y - 12 = 0\\9{x^2} + 16{y^2} = 144\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 0\end{array} \right.\] hoặc \[\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 3\end{array} \right.\].

Do \[\,OB > OA\] nên \[A\left( {0;3} \right)\], \[B\left( {4;0} \right) \to AB = 5\]; \[d\left( {C,d} \right) = \frac{{\left| {3m + 4n - 12} \right|}}{5}\]

\[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.d\left( {C,d} \right) = \frac{{\left| {3m + 4n - 12} \right|}}{2} = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3m + 4n = 24\\3m + 4n = 0\end{array} \right.\].

Do \[C\left( {m;n} \right) \in \left( E \right)\] nên.

\[\frac{{{m^2}}}{{16}} + \frac{{{n^2}}}{9} = 1 \Leftrightarrow 9{m^2} + 16{n^2} = 144 \Leftrightarrow {\left( {3m + 4n} \right)^2} - 24mn = 144\]

Trường hợp 1: \[\left\{ \begin{array}{l}3m + 4n = 24\\3m.4n = 216\end{array} \right.\] (vô nghiệm).

Trường hợp 2: \[\left\{ \begin{array}{l}3m + 4n = 0\\3m.4n = - 72\end{array} \right.\]

Kết hợp với điều kiện \[\,\,m > 0\] ta tìm được \[m = 2\sqrt 2 ;n = - \frac{3}{{\sqrt 2 }} \to T = \sqrt 2 \left( {m + n} \right) = 1\].

Hệ số của \[{x^3}\] trong khai triển \[T = {\left( {2x + 3} \right)^5}\] là?