Hệ số của số hạng x^10 trong khai triển (1 + x + x^2 + x^3)^5 là

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có (1 + x + x² + x³)⁵ = [1 + x + x²(1 + x)]⁵

         = [(1 + x)(1 + x²)]⁵ = (1 + x)⁵.(1 + x²)⁵.

Theo công thức nhị thức Newton, ta có:

⦁A = (1 + x)⁵

= 1⁵ + 5.1⁴.x + 10.1³.x² + 10.1².x³ + 5.1.x⁴ + x⁵

= 1 + 5x + 10x² + 10x³ + 5x⁴ + x⁵.

⦁B = (1 + x²)⁵

= 1⁵ + 5.1⁴.x² + 10.1³.(x²)² + 10.1².(x²)³ + 5.1.(x²)⁴ + (x²)⁵

= 1 + 5x² + 10x⁴ + 10x⁶ + 5x⁸ + x¹⁰.

Suy ra(1 + x + x² + x³)⁵ = A.B

Khi đó ta có số hạng chứa x¹⁰ trong khai triển (1 + x + x² + x³)⁵ là:

xⁱ.x^j = x¹⁰ hay x^{i + j} = x¹⁰ với xⁱ là lũy thừa của số hạng trong A, x^j là lũy thừa của số hạng trong B (i ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5} và j ∈ {0; 2; 4; 6; 8; 10}).

Do đó ta có bảng sau:

j	i
10	0
8	2
6	4

Từ bảng ta có số hạng chứa x¹⁰ trong khai triển là:

1.x¹⁰ + 10x².5x⁸ + 5x⁴.10x⁶

= x¹⁰ + 50x¹⁰ + 50x¹⁰ = 101x¹⁰.

Vậy hệ số của số hạng chứa x¹⁰ trong khai triển (1 + x + x² + x³)⁵ là 101.

Do đó ta chọn phương án C.