Hệ phương trình (x-1)(y^2 +6)=y(x^2 +1) và (y-1)(x^2 +6)=x(y^2+1) có bao nhiêu

Hệ đã cho ⇔xy2+6x−y2−6=yx2+yyx2+6y−x2−6=xy2+x

Trừ vế theo vế hai phương trình của hệ ta được:

2xy(y – x) +7 (x – y) + (x – y) (x + y) = 0

⇔(x – y)(x + y – 2xy + 7) = 0 x=yx+y−2xy+7=0

+ Nếu x = y thay vào hệ ta có: x2–5x+6=0⇔x=y=2x=y=3

+ Nếu x + y – 2xy + 7 = 0⇔2x + 2y – 4xy + 14 = 0

⇔(2x – 1) + 2y (1 – 2x) = −15⇔(1 – 2x) (1 – 2y) = 15

Mặt khác khi cộng hai phương trình của hệ đã cho ta được:

x2+y2–5x–5y+12=0⇔4x2–20x+25+4y2–20y+25–2=0

⇔(2x–5)2+(2y–5)2=2⇔(2x–5)2+(2y–5)2=2

Đặt a = 2x – 5; b = 2y – 5

Ta có a2+b2=2a+4b+4=14

⇔a+b2−2ab=2ab+4a+b=−1⇔a+b=0ab=−1a+b=−8ab=31

Trường hợp 1: a+b=0ab=−1⇔(x; y) = (3; 2), (2; 3)

Trường hợp 2: a+b=−8ab=31vô nghiệm

Vậy nghiệm của hệ đã cho là (x; y)  {(2; 2); (3; 3); (2; 3); (3; 2)}

Suy ra có một cặp nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán là (x; y) = (3; 2)

Đáp án:A