Hệ phương trình { x − 1/x^3 = y − 1/ y^3 ( x − 4y ) ( 2x − y + 4 ) = − 36 có bao nhiêu nghiệm?

Giải chi tiết:

 Ta có: \(x - \frac{1}{{{x^3}}} = y - \frac{1}{{{y^3}}} \Leftrightarrow (x - y) = \frac{{(y - x)({y^2} + xy + {x^2})}}{{{x^3}{y^3}}} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = y}\\{\frac{{{y^2} + xy + {x^2}}}{{{x^3}{y^3}}} = - 1}\end{array}} \right.\)

TH 1. \(x = y\) thế vào phương trình thứ hai ta được \({x^2} + 4x - 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 6}\\{x = 2}\end{array}} \right.\)

TH 2. \(\frac{{{y^2} + xy + {x^2}}}{{{x^3}{y^3}}} = - 1 \Rightarrow xy < 0.\)

Ta có: \((x - 4y)(2x - y + 4) = - 36\)

\( \Leftrightarrow 2{x^2} + 4{y^2} - 9xy + 4x - 16y = - 36\)

\( \Leftrightarrow 2{(x + 1)^2} + 4{(y - 2)^2} - 9xy = - 18(*)\)

Vì \(xy < 0 \Rightarrow 2{(x + 1)^2} + 4{(y - 2)^2} - 9xy > 0.\) Vậy (*) vô nghiệm.

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là \(S = \left\{ {\left( {2;2} \right),\,\,\left( { - 6; - 6} \right)} \right\}.\)

Đáp án cần chọn là: C