Hạt nhân X phóng xạ β⁻ và biến đổi thành hạt nhân Y bền vững. Ban đầu (t = 0) có một mẫu chất phóng xạ X nguyên chất. Tại các thời điểm t₁ = t₀ (năm) và t₂ = t₀ + 24,6 (năm), tỉ số giữa số hạ

Ban đầu mẫu chỉ có hạt nhân X. Gọi số hạt nhân ban đầu là \({N_0}\).

Tại thời điểm bất kì:

Số hạt X còn lại là \({N_X}\).

Số hạt Y sinh ra là: \({N_Y} = {N_0} - {N_X}\).

Tại \({t_1} = {t_0}\): \(\frac{{{N_X}}}{{{N_Y}}} = \frac{1}{3}\). Suy ra: \(\frac{{{N_X}}}{{{N_0} - {N_X}}} = \frac{1}{3}\).

\(3{N_X} = {N_0} - {N_X}\) \(4{N_X} = {N_0}\). Do đó: \({N_X} = \frac{{{N_0}}}{4}\).

Tại \({t_2} = {t_0} + 24,6\) năm: \(\frac{{{N_X}}}{{{N_Y}}} = \frac{1}{{15}}\). Suy ra: \(\frac{{{N_X}}}{{{N_0} - {N_X}}} = \frac{1}{{15}}\). \(15{N_X} = {N_0} - {N_X}\). \(16{N_X} = {N_0}\).

Do đó: \({N_X} = \frac{{{N_0}}}{{16}}\).

Từ \({t_1}\) đến \({t_2}\), số hạt X còn lại giảm từ \(\frac{{{N_0}}}{4}\) xuống \(\frac{{{N_0}}}{{16}}\), tức giảm 4 lần.

Giảm 4 lần tương ứng với 2 chu kì bán rã: \(\frac{{{N_0}}}{4} \to \frac{{{N_0}}}{8} \to \frac{{{N_0}}}{{16}}\).

Vậy: \(2T = 24,6\) => T = 12,3 năm.

Đáp án: 12,3