Hàm số y=f(x) có đạo hàm f'(x) = x^2(x + 1)^2 (x + 2), x thuộc R. Khẳng định nào sau đây đúng?

9/22

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^2}{\left( {x + 1} \right)^2}\left( {x + 2} \right),\forall x \in \mathbb{R}\). Khẳng định nào sau đây đúng?

Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right),\left( {0; + \infty } \right)\).

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng\(\left( { - 2; - 1} \right),\left( {0; + \infty } \right)\).

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 2; + \infty } \right)\).

Giải thích

Ta có \(f'\left( x \right) = {x^2}{\left( {x + 1} \right)^2}\left( {x + 2} \right)\).

Vì \({x^2} \ge 0\) và \({\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\), nên dấu của \(f'\left( x \right)\) cùng dấu với biểu thức \(\left( {x + 2} \right)\) (ngoại trừ các điểm làm đạo hàm bằng 0 không đổi dấu).

Ta có \(f'\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x + 2 > 0 \Leftrightarrow x > - 2\).

Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 2; + \infty } \right)\).

Chọn D.