a) Ta có \[P = \sin \frac{\alpha }{2}.\cos \frac{{3\alpha }}{2} = \frac{1}{2}\left( {\sin 2\alpha - \sin \alpha } \right) = \frac{1}{2}\sin \alpha \left( {2\cos \alpha - 1} \right)\].

Từ hệ thức \[{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\], suy ra \[\sin \alpha = \pm \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } = \pm \frac{3}{5}\].

Do \[\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\] nên ta chọn \[\sin \alpha = - \frac{3}{5}\].

Thay \[\sin \alpha = - \frac{3}{5}\] và \[\cos \alpha = - \frac{4}{5}\] vào \(P\), ta được \(P = \frac{{39}}{{50}}.\)

b) \[\cos 2\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) + 4\cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) = \frac{5}{2}\]

⦁ Ta có: \[\cos 2\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 1 - 2{\sin ^2}\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 1 - 2{\cos ^2}\left( {\frac{\pi }{6} - x} \right)\]

⦁ Phương trình đã cho trở thành:

\[ - \,2{\cos ^2}\left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) + 4\cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) - \frac{3}{2} = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) = \frac{1}{2}\\\cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) = \frac{3}{2}\left( {loai} \right)\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) = \frac{1}{2}\]

\[ \Leftrightarrow \frac{\pi }{6} - x = \pm \,\frac{\pi }{3} + k2\pi \]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \,\frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.,\,\,k \in \mathbb{Z}.\]

⦁ Vậy phương trình có hai họ nghiệm là \[x = - \,\frac{\pi }{6} + k2\pi ;x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\]

c) Sóng thứ nhất có phương trình \({u_1}\left( {x,t} \right) = 10\cos \left[ {\omega \left( {t - \frac{x}{v}} \right)} \right] = 10\cos \left( {\omega t - \frac{\omega }{v}x} \right)\)

Sóng thứ hai có phương trình \({u_2}\left( {x,t} \right) = 10\cos \left[ {\omega \left( {t - \frac{x}{v}} \right) + \frac{\pi }{2}} \right] = 10\cos \left( {\omega t - \frac{\omega }{v}x + \frac{\pi }{2}} \right)\)

Sóng tổng hợp có phương trình \(u\left( {x,t} \right) = 10\cos \left( {\omega t - \frac{\omega }{v}x} \right) + 10\cos \left( {\omega t - \frac{\omega }{v}x + \frac{\pi }{2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow u\left( {x,t} \right) = 10.2.\cos \left( {\omega t - \frac{\omega }{v}x + \frac{\pi }{4}} \right).\cos \frac{\pi }{4} \Leftrightarrow u\left( {x,t} \right) = 10\sqrt 2 \cos \left( {\omega t - \frac{\omega }{v}x + \frac{\pi }{4}} \right)\)(mm).

Hàm số y = 5 + 4 sin 2 x cos 2 x có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?