Hàm số v(t) = * −t^2 + 10t + 5 khi 0 ≤ t ≤ 6; * at + 41 khi 6 < t ≤ 12 mô tả vận tốc (m/s) của một vật tại thời điểm t (giây) trong khoảng thời gian 12 giây đầu tiên kể từ khi vật bắt đầu c

Hàm số \(v\left( t \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;12} \right]\) nên hàm số liên tục tại \(t = 6\).

Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{t \to {6^ + }} v\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {6^ - }} v\left( t \right) = v\left( 6 \right)\)\( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{t \to {6^ + }} \left( {at + 41} \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {6^ - }} \left( { - {t^2} + 10t + 5} \right) = 29\)

\( \Leftrightarrow 6a + 41 = 29 \Leftrightarrow 6a = - 12 \Leftrightarrow a = - 2\).

Khi đó \(v\left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - {t^2} + 10t + 5}&{{\rm{khi\;}}0 \le t \le 6}\\{ - 2t + 41}&{{\rm{khi\;}}6 < t \le 12}\end{array}} \right.\).

Vật đạt vận tốc \(21{\rm{\;m/s}} \Leftrightarrow v\left( t \right) = 21\):

Trường hợp 1: \(0 \le t \le 6\): \( - {t^2} + 10t + 5 = 21 \Leftrightarrow - {t^2} + 10t - 16 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 2{\rm{\;(Th/m\~a n)}}}\\{t = 8{\rm{\;(Loai\;v\`i \;}} > 6)}\end{array}} \right.\).

Suy ra \({t_1} = 2\).

Trường hợp 2: \(6 < t \le 12\): \( - 2t + 41 = 21 \Leftrightarrow 2t = 20 \Leftrightarrow t = 10{\rm{\;(Th\;/m\~a n)}}\)

Suy ra \({t_2} = 10\).

Vậy \({t_1} + {t_2} = 2 + 10 = 12\).