Hàm số nào sau đây nghịch biến trong khoảng (−∞;0)?

61/100

\[y = \sqrt 2 {x^2} + 1\].

\[y = - \sqrt 2 {x^2} + 1\].

\[y = \sqrt 2 {(x + 1)^2}\].

\[y = - \sqrt 2 {(x + 1)^2}\].

Giải thích

Phương pháp giải

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số bậc hai.

- Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến trên \(\left( { - \frac{b}{{2a}}; + \infty } \right)\), nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; - \frac{b}{{2a}}} \right)\), đạt được GTNN trên \(R\) tại \(x = - \frac{b}{{2a}}\).

- Nếu \(a < 0\) thì hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \frac{b}{{2a}}; + \infty } \right)\), đồng biến trên \(\left( { - \infty ; - \frac{b}{{2a}}} \right)\), đạt được GTLN trên \(R\) tại \(x = - \frac{b}{{2a}}\).

Sự biến thiên của hàm số bậc hai

Lời giải

Đáp án \({\rm{A}}:a = \sqrt 2 > 0\) và \( - \frac{b}{{2a}} = 0\) nên hàm số nghịch biến trên \(( - \infty ;0)\)

Đáp án \({\rm{B}}:a = - \sqrt 2 < 0\) và \( - \frac{b}{{2a}} = 0\) nên hàm số đồng biến trên \(( - \infty ;0)\)

Đáp án C: \(y = \sqrt 2 \left( {{x^2} + 2x + 1} \right) = \sqrt 2 {x^2} + 2\sqrt 2 x + \sqrt 2 \) có \(a = \sqrt 2 > 0\) và \( - \frac{b}{{2a}} = - 1\) nên hàm số nghịch biến trên \(( - \infty ; - 1)\) nhưng \(( - \infty ;0)\not \subset ( - \infty ; - 1)\) nên hàm số không nghịch biến trên \(( - \infty ;0)\)

Đáp án \({\rm{D}}:y = - \sqrt 2 \left( {{x^2} + 2x + 1} \right) = - \sqrt 2 {x^2} - 2\sqrt 2 x - \sqrt 2 \) có \(a = - \sqrt 2 < 0\) và \( - \frac{b}{{2a}} = - 1\) nên hàm số nghịch biến trên \(( - 1; + \infty )\)

Vậy chỉ có Đáp án A đúng.