Mệnh đề		Đúng	Sai
a)	Họ các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} + {x^2} + {e^x}\) là \(\frac{1}{5}{x^5} + \frac{1}{3}{x^3} + {e^x}.\)		X
b)	Nếu \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = 4{x^3} + \sin x + C} \) thì \(f\left( x \right) = 12{x^2} + \cos x\).	X
c)	Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm \(f\left( x \right) = \frac{1}{{2x + 1}}\); biết \(F\left( 0 \right) = 2\). Khi đó \[F\left( 1 \right) = \frac{1}{2}ln3 + 2\].	X
d)	Cho hàm số \(F\left( x \right)\) biết \(F\left( x \right) = \int {\frac{{{x^3}}}{{{x^4} + 1}}{\rm{d}}x} \) và \(F\left( 0 \right) = 1\). Khi đó \(F\left( x \right) = \frac{1}{4}\ln \left( {{x^4} + 1} \right) - 1.\)		X

a) Ta có \(\int {f\left( x \right)} dx = \int {\left( {{x^4} + {x^2} + {e^x}} \right)} dx = \frac{1}{5}{x^5} + \frac{1}{3}{x^3} + {e^x} + C\) suy ra mệnh đề sai.

b) Nếu \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = 4{x^3} + \sin x + C} \) thì \(f\left( x \right) = 12{x^2} + \cos x\)

Ta có \(f\left( x \right) = {\left( {4{x^3} + \sin x + C} \right)^\prime } = 12{x^2} + \cos x.\) Suy ra mệnh đề đúng

.c) Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm \(f\left( x \right) = \frac{1}{{2x + 1}}\); biết \(F\left( 0 \right) = 2\). Khi đó \[F\left( 1 \right) = \frac{1}{2}ln3 + 2\].

Lời giải

Ta có \[F\left( x \right) = \int {\frac{1}{{2x + 1}}} dx = \frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} \right| + C\]

Do \[F\left( 0 \right) = 2 \Rightarrow \frac{1}{2}\ln \left| {2.0 + 1} \right| + C = 2 \Rightarrow C = 2\]

Vậy \[F\left( x \right) = \frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} \right| + 2 \Rightarrow F\left( 1 \right) = \frac{1}{2}\ln 3 + 2\]. Suy ra mệnh đề đúng

d) Cho hàm số \(F\left( x \right)\) biết \(F\left( x \right) = \int {\frac{{{x^3}}}{{{x^4} + 1}}{\rm{d}}x} \) và \(F\left( 0 \right) = 1\). Khi đó \(F\left( x \right) = \frac{1}{4}\ln \left( {{x^4} + 1} \right) - 1\)

Lời giải

Ta có: \(F\left( x \right) = \frac{1}{4}\int {\frac{1}{{{x^4} + 1}}{\rm{d}}\left( {{x^4} + 1} \right)} = \frac{1}{4}\ln \left( {{x^4} + 1} \right) + C\).

Do \(F\left( 0 \right) = 1\) nên \(\frac{1}{4}\ln \left( {0 + 1} \right) + C = 1 \Leftrightarrow C = 1\).

Vậy: \(F\left( x \right) = \frac{1}{4}\ln \left( {{x^4} + 1} \right) + 1\). Suy ra mệnh đề sai.

Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số \(y = 5{x^4}\)