Hàm số nào sau đây là một hàm số tuần hoàn
Phương pháp giải
Hàm số tuần hoàn
Lời giải
Hàm số \(y = 2.\sin x + 3.\cos x\) là hàm số tuần hoàn.
Giả sử hàm số \(y = x.\sin x\) là hàm số tuần hoàn
Nghĩa là tồn tại T > 0 sao cho \(f(x + T) = f(x)\,\,\forall x \in \mathbb{R}\)
Do đó
\((x + T).\sin (x + T) = x.\sin x\,\,\forall x \in \mathbb{R}\)
\(x = 0 \Rightarrow T.\sin T = 0 \Rightarrow \sin T = 0\)
\(x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow \left( {T + \frac{\pi }{2}} \right).\sin \left( {T + \frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{2}.1\)
\( \Rightarrow \sin \left( {T + \frac{\pi }{2}} \right) = \frac{{\frac{\pi }{2}}}{{\frac{\pi }{2} + T}} = \cos T\)
\( \Rightarrow \cos T = 1(T > 0)\)
\( \Rightarrow \frac{{\frac{\pi }{2}}}{{\frac{\pi }{2} + T}} \Rightarrow T = 0\)
Xét hàm số \(y = \sin {x^2}\)
Giả sử hàm số tuần hoàn chu kì T
\( \Rightarrow \sin {x^2} = \sin {(x + T)^2}\forall x \in \mathbb{R}\)
Với \(x = 0 \Rightarrow \sin {T^2} = 0 \Rightarrow {T^2} = k\pi \)
Giả sử \(k = {m_o} \ge 1,{m_o} \in {\mathbb{N}^*}\) vì \({\rm{T}} > 0\)
Với \(x = \sqrt {\frac{\pi }{2}} \Rightarrow \sin {\left( {\sqrt {\frac{\pi }{2}} + \sqrt {{m_o}\pi } } \right)^2} = 1\)
\( \Rightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{2} + {m_o}\pi + 2\sqrt {\frac{\pi }{2}.{m_o}\pi } } \right) = 1\)
\( \Rightarrow \cos \left( {{m_o}\pi + 2\sqrt {\frac{\pi }{2}.{m_o}\pi } } \right) = 1\)
\( \Rightarrow \sin \left( {{m_o}\pi + 2\sqrt {\frac{\pi }{2}.{m_o}\pi } } \right) = 0\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sin \left( {{m_o}\pi + \pi \sqrt {2{m_o}} } \right) = 0\\ \Rightarrow \sin \left( {{m_o} + \sqrt {2{m_o}} } \right)\pi = 0\\ \Rightarrow \sqrt {2{m_o}} \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)
Với \(x = \sqrt \pi \)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sin {\left( {\sqrt \pi + \sqrt {{m_o}\pi } } \right)^2} = 0\\ \Rightarrow \sin {\left( {1 + \sqrt {{m_o}} } \right)^2}\pi = 0\\ \Rightarrow 2\sqrt {{m_o}} \in {\mathbb{N}^*} \Rightarrow \sqrt {{m_o}} \in {\mathbb{N}^*}\\ \Rightarrow \sqrt {{m_o}} + \sqrt {2{m_o}} \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)
Vì \(\sqrt {{m_o}} \in {\mathbb{N}^*} \Rightarrow 1 + \sqrt 2 \in {\mathbb{N}^*}\) (Vô lí)