Hàm số nào dưới đây đồng biến trên \(\mathbb{R}\)?

6/22

\(y = \frac{{x - 1}}{{x + 3}}\).

\(y = {x^3} + 2x\).

\(y = \frac{{{x^2} + 1}}{{x - 2}}\).

\(y = {x^4} + 2{x^2}\).

Giải thích

Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) trước hết phải có tập xác định \(D = \mathbb{R}\). Loại phương án A và C vì có tập xác định chứa điểm gián đoạn (\(x \ne - 3\) và \(x \ne 2\)).

Xét hàm số \(y = {x^4} + 2{x^2}\) (Phương án D): Là hàm trùng phương chẵn, có đồ thị đối xứng qua trục tung và luôn có cực trị, không thể đồng biến trên toàn bộ tập \(\mathbb{R}\).

Xét hàm số \(y = {x^3} + 2x\) (Phương án B):

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).
Đạo hàm: \(y' = 3{x^2} + 2 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\).
Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\) hay đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Chọn đáp án: B.