Hàm số nào dưới đây đơn điệu trên tập xác định của nó?

Chọn A

+ Xét hàm số \(y = \sqrt {{x^3} + x - 5} \) có tập xác định \(\left[ {a; + \infty } \right)\), với \(a \approx 1,516\).

Ta có \(y' = \frac{{3{x^2} + 1}}{{2\sqrt {{x^3} + x - 5} }} > 0,\,\,\forall x \in \left( {a; + \infty } \right)\).

Vậy hàm số đồng biến trên tập xác định của nó.

+ Xét hàm số \(y = \frac{{4x - 2}}{{x - 1}}\) có tập xác định \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Ta có \(y' = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0,\,\,\forall x \ne 1\).

Vậy hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.

+ Xét hàm số \(y = {x^4} + {x^3} + x + 11\) có tập xác định \(\mathbb{R}\).

Ta có \(y' = 4{x^3} + 3{x^2} + 1 > 0,\,\,\forall x \in \left( { - 1; + \infty } \right),\,y' < 0,\,\forall x \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\).

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\).

+ Xét hàm số \(y = \cot 2x\) có tập xác định \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{k\pi }}{2},\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Ta có \(y' = \frac{{ - 2}}{{{{\sin }^2}2x}} < 0,\,\,\forall x \in TXD\).

Vậy hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.