Hàm số \[g(x) = f(1012{x^2} + 2025) + {x^4} + 4{x^2}\]đồng biến trên khoảng nào?

Giải chi tiết:

                                   \[g'(x) = 2024xf'(1012{x^2} + 2025) + 4{x^3} + 8x\]

   \[ \Leftrightarrow g'(x) = x\left[ {2024f'(1012{x^2} + 2025) + 4{x^2} + 8} \right].\]

Xét biểu thức trong ngoặc:

                                           \[2024f'(1012{x^2} + 2025) + 4{x^2} + 8.\]
Vì

                      \[f'(1012{x^2} + 2025) > 0\quad {\rm{v\`a }}\quad 4{x^2} + 8 > 0,\]
nên

                                       \[2024f'(1012{x^2} + 2025) + 4{x^2} + 8 > 0.\]

Do đó dấu của \(g'(x)\) trùng với dấu của \(x\).
Suy ra:

                                                 \[g'(x) > 0 \Leftrightarrow x > 0.\]

Vậy hàm số \(g(x)\) đồng biến trên khoảng: \[(0; + \infty ).\]

Đáp án cần chọn là: D