Hàm số f(x) liên tục trên đoạn [-pi/2; pi/2] và thỏa mãn hệ thức f(x) + 2f(−x) = 3cosx với mọi x thuộc [-pi/2; pi/2]. Tính tích phân I = ∫ (-pi/2)^(pi/2) f (x)dx
Giải thích
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Lấy tích phân hai vế của hệ thức trên đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\), ta có:
\(\int_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} f (x)dx + 2\int_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} f ( - x)dx = \int_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} 3 \cos xdx\) (1).
Ta có tính chất của tích phân trên khoảng đối xứng: \(\int_{ - a}^a f ( - x)dx = \int_{ - a}^a f (x)dx\).
Do đó \(\int_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} f ( - x)dx = I\). Lại có \(\int_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} 3 \cos xdx = \left. {\left( {3\sin x} \right)} \right|_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\) = 3(1 − (−1)) = 6.
Thay vào (1), ta được: I + 2I = 6 Þ 3I = 6 => I = 2.